Сплайнова Апроксимація.

Сплайни.

Знаходження апроксимуючого поліному.

Апроксимуючий поліном

Апроксимуючі криві за винятком періодичних сигналів в переважній більшості є монотонно зростаючими при цьому екстремуми не очікуються, оскільки тоді характеристики будуть багатозначними. Крім того виключається із огляду коливання, які накладаються на характеристику, таким чином для згладжування здійснюється пошук поліномів не вище 3-тьго порядку, тобто прямі, квадратичні та кубічні параболи. В загальному випадку поліном 3-тьго порядку можна записати наступним чином:

; .

- деяка вагова функція, яка враховується на певних відрізках функціональної залежності.

; (А)

Ці екстремуми будуть представляти мінімуми, оскільки в даному випадку матриця інших похідних від коефіцієнтів є позитивно визначена.

(B)

Система рівнянь (В) з врахуванням того, що n міняється від 1 до N вираховується коефіцієнт , потім підставляємо це в рівняння: і вираховуємо поліном.

Приклад:

На основі рівнянь (В) з врахуванням того, що запишемо наступне рівняння:

Таким чином ми відшукали :

- відповідь.

Приклад: Знайти апроксимуючий поліном

n

N=4

В деяких випадках апроксимуючий поліном 3-го порядку недостатньо точно передає характеристику кривої при цьому немає необхідності використовувати поліноми вищих порядків, оскільки вони схильні до пульсацій в таких випадках краще здійснювати наближення характеристики так званою спай новою функцією, яка складається з частин поліномів. Для цього в подальшому будемо використовувати кубічні параболи, які в кожному випадку точно проходять через опорні точки

(1)

; (2)

Для обчислення існує певний алгоритм

Алгоритм обчислення сплайнових коефіцієнтів:

(3)

(4)

()

(5)

(6)

(7)

(8)

З рівнянь 3,5,6,7,8 знаходимо відповідні коефіцієнти .

(9)

(10)

(11)

(12)

Як бачимо для обчислення коефіцієнтів необхідно мати значення других похідних, для їх знаходження скористаємося перетворенням відносно першої похідної на її внутрішніх точках. При цьому підставимо рівняння 10,11,12 у рівняння 6. В результаті отримаємо:

(13)

(14)

З погляду на те, що значення поліномів = можемо прирівняти вирази 14 і 5 а звідси 14 і 10

Домноживши на 6 отримаємо:

(15)

На основі рівняння 15 здійснюється обчислення других похідних на (N-2) внутрішніх опорних точках, якщо відомі похідні , на зовнішніх опорних точках.

Далі будемо припускати,що викривлення на краях інтервалу прирівнюється до «0».

На основі рівняння 15 обчислюються другі похідні на опорних точках,які підставляються в Рівняння 9,10,11,12 ,

На основі чого обчислюються коефіцієнти обчислюються відповідні поліноми

Якщо

n
	0,5				3,5

для n=2

n=2

n=3

n=4

Для обчислення підставляємо в рівняння 9,10,11,12.

На практиці виміряні величини через які необхідно провести криву, переважно розсіюються, в цьому випадку складно провести сплайнову функцію точно через усі опорні точки, які мають певні невизначеності, або похибку вимірювання. При цьому більш раціонально проводити згладжування, а значить замість інтерполяційного сплайна використовувати апроксимаційний сплайн.

Ідея полягає в тому, що кубічний поліном іще невідомими координатами . Так покласти через пари вимірів , щоб різниця ,була додатною і пропорційною стрибкам третьою похідною сплайнової функції в т. поліном знову обчислюється за цією попередньою формулою та що використовується при інтерполяції а коефіцієнти , обчислюються через за формулою (15). В даному випадку треба здійснити наближення використовуючи метод наближення Гауса, таким чином апроксимуюча сплайнова функція дає описувати і згладжувати розсіювані величини.

Такий підхід складно практично реалізувати за рахунок того, що необхідно здійснити великий об’єм обчислень а також потребується наявність великого об’єму пам’яті. С погляду на те на практиці використовується дещо інший підхід.

По перше для вимірювання шуканих величин використовуються прилади та пристрої вищої точності при цьому число замірів може бути менше.

По друге здійснюється усереднення кількох точок .

По третє маючи певне число точок проводиться апроксимаційний поліном третього порядку.

Для п’яти точок здійснюється пошук третього порядку і для середньої точки знаходиться значення якого відповідає поліному .

По четверте маючи кілька поліномів через отримані точки проводиться сплайновий інтерполяційний поліном.

Дата добавления: 2017-02-01