Методи обробки експериментальних даних

В основу обробки експериментальних даних покладено елементи математичної статистики та регресійного аналізу.

Обробка експериментальних даних в теорії планування експерименту в значній мірі формалізована і виконується за допомогою ЕОМ. Обробка ділиться на окремі етапи, що вміщують операції умовного переходу у вигляді допуску до наступного при виконанні деякої умови. Якщо умова не виконується, то обчислення закінчують і виконують необхідні зміни в плануванні експерименту. Характер зміни і напрямок подальших дій визначає експериментатор. Розглянемо етапи і можливі варіанти неформалізованих рішень.

Для виключення аномальних, грубих похибок, котрі можуть значно спотворити результати, в окремих рядках плану проводиться перевірка однорідності значень y_ui. Нагадаємо, що y – це відгук, n – номер рядка, u – номер колонки. Наприклад, y ₁₂ означає величину відгуку в першому рядку другої колонки. Для перевірки однорідності значень відгуку користуються критерієм Ст’юдента

, (7.26)

де y^* – найбільше або найменше значення відгуку в u - рядку, яке можна вважати хибним;

– середнє значення відгуку в тім же рядка без урахування .

, (7.27)

де n – число паралельних дослідів; S_u – оцінка середнього квадратичного відхилення.

Оцінка середнього квадратичного відхилення визначається за такою формулою:

, (7.28)

де – оцінка дисперсії в u -ій точці плану без урахування сумнівного результату .

По числу ступенів свободи f та заданому рівні значості a із таблиці розподілу Ст’юдента находять величину критерію t_т. Ступінь свободи визначають за формулою

.

Рівень значимості в технічних експериментах як правило задають величиною 0,05, тобто a = 0,05.

Якщо розрахована величина критерію t_р буде більшою за табличну t_т, (t_р > t_т) то з надійністю Р = 0,95 можна стверджувати, що – груба похибка. У випадку, коли t_р < t_т результат узгоджується з даними u -го рядка і залишається для подальшої обробки. При плануванні експерименту бажано, щоб число дослідів у всіх рядках було однаковим.

Середні значення відгуку в окремих точках факторного простору розраховуються після перевірки однорідності вимірів. У всіх точках плану розраховуються середні значення і заносяться в останню колонку.

Серед всіх значень одне може бути найменшим – , одне найбільшим . Прийнято вважати, що експеримент містить дуже мало інформації про об’єкт дослідження, якщо різниця – статистично не значима.

Значимість різниці середніх також перевіряється за критерієм Ст’юдента. Розрахункове значення критерію визначається за формулою

, (7.29)

де S_y – оцінка дисперсії відтворення, n _max, n _min – число паралельних дослідів в рядках відповідно і .

Дисперсією відтворення , або дисперсією дослідів називається величина, що визначається за формулою

, (7.30)

де – дисперсія в u -ім рядку, N – число рядків.

Із формули видно, що дисперсія відтворення є середнє арифметичне дисперсій в рядку, яке в свою чергу визначається за формулою

, (7.31)

Посилаючись на викладене маємо

.

Табличне значення критерію Ст’юдента визначають по рівні значості a = 0,05, та числу ступенів свободи

.

Якщо t_р < t_т, середні величини відрізняються статистично незначимо. В подібному випадку експериментальні дані неможливо признати задовільними і необхідно виконати такий експеримент, в якому б величини відгуку в окремих точках відзначались більш суттєво. Це можливо отримати зміною масштабів змінних величин, або перенесенням області експерименту в інший простір досліджень.

Однорідність дисперсій при однаковій кількості дослідів в кожнім рядку перевіряється за критерієм Кохрена:

. (7.32)

Величина G_P зв’язана з числом ступенів свободи f

По рівню значності a = 0,05 і числу ступенів свободи знаходять табличне значення критерію G_T. Якщо виконується нерівність

,

приймається гіпотеза про однорідність дисперсій. Якщо

,

то гіпотеза про однорідність відхиляється. Тоді необхідно приймати неформалізоване рішення.

Коефіцієнти рівняння регресії в загальному вигляді визначаються за формулою

, (7.33)

де x_iu виражено в кодованих величинах (+1, -1). При обчисленні коефіцієнта b ₀ всі x_iu беруться доданими.

Статистична значимість коефіцієнтів регресії перевіряється за критерієм Ст’юдента, розрахункове значення якого

, (7.34)

де – дисперсія і -го коефіцієнта регресії.

(7.35)

Тоді

(7.36)

Одержана рівність підтверджує дуже важливу властивість багатофакторного експерименту: похибка коефіцієнтів регресії стала і в разів менше похибки дослідів. Це означає, що із збільшенням кількості факторів зменшується похибка і відповідно збільшується точність опису об’єкту рівнянням регресії.

Згідно з числом ступенів свободи дисперсії

(7.37)

і рівнем значимості a = 0,05 знаходимо табличне значення критерію t_т. При t_р < t_т приймають гіпотезу про рівність нулю коефіцієнта, а відповідний член регресії потрібно виключити з рівняння. Проте інколи таке твердження може бути помилковим із-за малого інтервалу варіювання.

Після перевірки значимості коефіцієнтів рівняння регресії має вигляд:

(7.38)

На завершення необхідно перевірити адекватність моделі. Для цього порівнюють дисперсії адекватності і відтворення. Під дисперсією адекватності розуміють характеристику розкиду середніх значень відносно поверхні відгуку, передбаченого рівнянням регресії:

, (7.39)

де l – число значимих коефіцієнтів в рівнянні регресії, – значення відгуку в u -ій точці плану, розраховане за рівняння регресії.

Адекватність визначається за критерієм Фішера

(7.40)

і порівнюється із величиною визначеною по таблиці згідно заданого рівня значості (a = 0,05) та двох числах ступенів свободи

Умовою адекватності являється виконання нерівності

.

Аналізом адекватності моделі за певними статистичними матеріалами закінчується дослідження об’єкта.

Приклад побудови математичної моделі по результатам активного експерименту.

Розглянемо алгоритм побудови математичної моделі по результатам активного експерименту на прикладі моделі паливного насосу НД 22/64.

Факторами приймаємо:

x ₁ – частота обертання кулачкового валу паливного насосу, хв^-1;

x ₂ – положення дозаторів подачі палива, мм.

Відгук y_ui – сумарне значення подачі палива секціями паливного насосу за дослід, г/кв.

Необхідно знайти залежність

.

За центр області експерименту (нульову точку) приймаємо значення факторів:

Кроки варіювання змінних x ₁ і x ₂ приймаємо:

Рівні варіювання факторів будуть

Побудова моделі проходить в наступній послідовності: вибирається вид рівняння; проводиться експеримент, оцінюються його результати, підраховуються коефіцієнти рівняння, перевіряється їх значимість; перевіряється адекватність одержаній моделі досліджуваного об’єкту.

Рівняння моделі паливного насосу має вигляд

Дослідження проводимо за допомогою повного факторного експерименту. В такому випадку число експериментів буде:

.

Експеримент повторювався чотири рази. Це означає, що число паралельних дослідів n = 4, тобто для кожної точки факторного простору є чотири значення відгуку.

Оцінимо отримані дані.

1. Перевірка однорідності значення y_uj по рядкам.

Середнє квадратичне відхилення

.

Для першого рядка найбільше значення (сумнівне) відгуку .

Середнє значення відгуку в першій строчці без урахування сумнівного відгуку:

Тоді

.

Визначимо розрахункове значення критерію Ст’юдента

.

Із таблиці 1 додатку 1 знаходимо теоретичне значення критерію Ст’юдента при ступені свободи

і рівні значимості a = 0,05

.

Оскільки t_р < t_т то значення узгоджується з даними всього рядка, і приймає участь в подальших розрахунках.

Аналогічно знаходимо:

Оскільки всі значення відгуків однорідні, то вони залишаються для подальших розрахунків.

Після перевірки однорідності значень y_uj розраховуємо середнє значення відгуку .

2. Розрахунок оцінок дисперсії в рядку і перевірка їх однорідності.

Дисперсії в рядку визначимо за формулою

Для першої строчки маємо:

Аналогічно знаходимо:

Сума дисперсій дорівнює:

.

Розрахункове значення критерію Кохрена:

.

При ступенях свободи

і рівні значимості a = 0,05 за таблицею розподілу Кохрена (додаток 2) знаходимо теоретичне значення критерію

.

Оскільки G_P < G_T, то дисперсії однорідні.

3. Визначення дисперсії відтворення. При рівності числа паралельних дослідів у всіх точках плану дисперсії відтворення визначимо за формулою

.

Похибка відтворення

.

4. Перевірка значимості відмінності значень відгуку в окремих точках факторного простору. Розрахункове значення критерію Ст’юдента

,

де n _max, n _min – число паралельних дослідів у вибраних точках факторного простору.

При ступені свободи f = n _max + n _min = 4 + 4 = 8 і рівні значимості a = 0,05 знаходимо табличне значення критерію.

t_T = 2,306.

Оскільки t_P = 2,306 > t_T = 2,306 то різниця між значеннями відгуків в різних точках факторного простору значима.

5. Визначення коефіцієнтів рівняння регресії.

Значення коефіцієнтів моделі визначаються за формулою:

.

Для коефіцієнту b ₀ маємо:

.

Для b ₁:

.

Аналогічно для b ₂:

.

Таким чином рівняння регресії має вигляд

.

6. Визначення статистичної значимості коефіцієнтів рівняння регресії.

При однаковому числі паралельних дослідів визначаємо

.

Розрахункове значення критерію Ст’юдента визначимо за формулою:

.

Для коефіцієнту b ₀ маємо:

.

Аналогічно для b ₁ і b ₂:

;

.

Табличне значення критерію Ст’юдента при ступені свободи

і рівні значимості a = 0,05 знаходимо

t_P = 2.

Оскільки критерії , , більші від t_P, то всі коефіцієнти рівняння регресії значимі.

7. Перевірка адекватності рівняння регресії.

Для кожної точки плану визначаємо значення відгуків за рівнянням регресії.

Для першої точки (перший рядок)

.

Аналогічно маємо:

Дисперсію адекватності розраховуємо за формулою

де l – число значимих коефіцієнтів у рівнянні регресії.

Розрахункове значення критерію Фішера визначимо за формулою:

при ступенях свободи

і при рівні значимості a = 0,05 визначаємо по таблиці (додаток 3) значення F_T,

F_T = 4.

Оскільки F_P < F_T, то модель адекватна об’єкту що досліджується.

Одержане рівняння регресії дає можливість визначати значення відгуку в довільній точці області експерименту.

Дата добавления: 2017-02-01