Похибки вимірювання та їх визначення

Об'єкти та методи вимірювання

Експериментальні дослідження. Методи обробки експериментальних даних

Вимірювальна техніка відіграє вирішальну роль у розвитку науково-технічного прогресу. Вона використовується практично в усіх галузях народного господарства. Рівень її розвитку багато в чому визначає досконалість технологічних процесів, якість виробів і досягнення в наукових дослідженнях.

Сучасні методи вимірювання повинні відповідати таким вимогам:

- мінімальне споживання енергії від об’єкту вимірювання;

- високу чутливість;

- високу точність;

- можливість вимірювання процесів, які швидко протікають;

- можливість вимірювання на великих відстанях;

- можливість подавання результатів вимірів на ЕОМ та автоматизації процесу вимірювання.

Вимірювання – це пізнавальний процес, який полягає в порівнянні шляхом експерименту вимірюваної фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів.

Мірою називають засіб вимірювання, призначений для відтворення фізичної величини заданого значення.

В залежності від ступеня точності і області застосування міри поділяються на еталони, зразкові і робочі міри. Еталони забезпечують відтворення і зберігання одиниці фізичної величини для передачі її розміру іншим засобам вимірювання. Зразковими мірами послуговуються для повірки і градуювання робочих мір та вимірювальних приладів, а також для вимірювання в наукових організаціях і на підприємствах.

Вимірювальна інформаційна система – це сукупність засобів вимірювання і допоміжного обладнання, сполученого каналами зв’язку, призначеними для виробки сигналів вимірювальної інформації від ряду джерел в формі, вигідній для обробки, передачі і використання в автоматичних системах управління.

В залежності від способу одержання результату вимірювання поділяють на два види: прямі і непрямі.

Прямими називають вимірювання, за яких пошукове значення фізичної величини визначають безпосередньо за показами приладу, наприклад, вимірювання маси терезами, сили струму амперметром і тому подібне.

Непрямими називають вимірювання, за яких пошукове значення фізичної величини знаходять на основі відомої функціональної залежності між цією величиною і величинами, одержаними в результаті прямих вимірювань. Прикладом є визначення електричного опору за показами амперметра і вольтметра.

Вимірювання фізичних величин неможливо виконати абсолютно точно. Будь-який результат вимірювання містить в собі ту чи іншу похибку, ті чи інші помилки. Розрізняють похибки систематичні і випадкові.

Систематичні похибки з’являються при кожному новому вимірюванні і обумовлені повторенням конкретної недосконалості, наприклад, дефектом або недосконалістю приладу. Систематичні похибки підвищують результат або знижують його, але завжди дають відхилення від істинного значення вимірюваної величини. Систематичні похибки можна зменшити, якщо ввести відповідні поправки в результати вимірювань.

Випадкові похибки дають відхилення від істинного значення в ту чи іншу сторону, або підвищують, або знижують результат. Причини, що їх породжують, носять випадковий характер і не піддаються обліку в загальному вигляді. Проте, застосувавши закони теорії ймовірності, можна звести випадкові похибки до мінімуму при виконанні багатьох вимірювань кожної величини.

Для зменшення похибки випадкового характеру вимірювання даної величини X виконують багаторазово і отримують ряд значень. Середнє арифметичне цих рівноймовірних вимірів є величина найближча до істинного значення і називається середнім значенням величини X_сер:

, (7.1)

де x ₁, x ₂, …, x_n – результати окремих вимірів; n – число вимірів.

Різниці

називають абсолютною похибкою окремих вимірювань. Вони можуть бути як позитивними так і негативними. При визначенні середньої абсолютної похибки, їх необхідно взяти по модулю

(7.2)

Величина D x_сер. є єдиною мірою випадкових похибок всієї серії вимірювань.

Відношення абсолютної похибки D x_сер. до середнього значення дає середню відносну похибку результату вимірювання

(7.3)

Відносні похибки часто виражають в процентах.

Істинне значення виміряної величини міститься в інтервалі:

(7.4)

При непрямих вимірюваннях точність виконання серії дослідів обмежується похибками, допущеними при прямих вимірах величин, які входять в розрахункову формулу.

Нехай пошукова величина f задана співвідношенням

, (7.5)

де х, y, z – незалежні величини. Тоді за експериментальне значення величини f приймають

, (7.6)

що співпадає при досить малих похибках величини f з її середнім значенням.

Абсолютною похибкою вимірювання буде приріст величини f в точці (х, y, z), який може бути отриманий із виразу для повного диференціалу

(7.7)

Замінивши знак диференціалу знаком кінцевого приросту, маємо

(7.8)

Щоб виключити взаємне скорочення, тобто знизити можливість помилки, частинні похідні беруться позитивними.

Таким чином, абсолютна похибка величини вимірювання виражається через середні абсолютні похибки вимірюваних величин.

Відносна похибка при непрямих вимірах визначається за формулою

(7.9)

Розглянемо деякі випадки оцінки похибок в непрямих вимірюваннях.

1. Пошукова величина задана добутком двох величин, вимірюваних з деякою похибкою

(7.10)

Продиференцюємо функцію f і, замінюючи знаки диференціалу кінцевими приростами величин, отримаємо формулу для розрахунку похибок:

абсолютної

(7.11)

і відносної

(7.12)

2. Пошукова величина визначається як результат частки двох вимірюваних величин

, (7.13)

то диференціюванням функції і заміною знаків диференціалу кінцевими приростами величин, будемо мати для похибок:

абсолютної

; (7.14)

відносної

(7.15)

3. Пошукова величина виражається через вимірювану величину у вигляді степеневої залежності

, (7.16)

де а – довільний параметр.

Використовуючи указаний вище метод, маємо для похибок:

абсолютної

; (7.17)

відносної

. (7.17)

4. Пошукова величина виражається сумою або різницею вимірюваних величин

f = х + y + z + … (7.18)

В цьому випадку абсолютна похибка визначається за виразом

(7.19)

З урахуванням знаків Х, Y, Z відносна похибка

. (7.20)

Використання розглянутого методу визначення похибок вимірювання можливо і для інших видів задавання пошукової величини.

7.3 Застосування математичного планування експерименту в наукових дослідженнях.

Рішення більшості проблем з експлуатації і ремонту сільськогосподарської техніки пов’язано із проведенням складних і дорогих експериментів. Створення нової технології, оптимізація нових і вже існуючих процесів вимагають величезного числа дослідів.

Методи оптимального планування експерименту дають змогу використовувати математичний апарат не тільки на стадії обробки результатів вимірів, але також при підготовці і проведенні дослідів.

У сучасній математичній теорії оптимального планування експерименту існує два основних розділи:

1. Планування експерименту для вивчення механізмів складних процесів і властивостей багатофакторних систем.

2. Планування експерименту для оптимізації технологічних процесів і властивостей багатофакторних систем.

Планування експерименту – це вибір числа дослідів і умов їхнього проведення, необхідних і достатніх для рішення поставленої задачі с потрібною точністю. В даний час розроблені різні методи планування експериментів. Вибір методу визначається з урахуванням постановки задачі й об'єкта дослідження.

Один з найбільш популярних методів – метод планування екстремального експерименту.

Експеримент, який ставиться для рішення задач оптимізації, називається екстремальним. Ця назва пов'язана з аналогією між рішенням задачі оптимізації і пошуком екстремуму деякої функції. Задача є екстремальною, якщо її ціль – пошук екстремуму деякої функції.

Прикладами задач оптимізації є вибір оптимального складу багато-компонентних сумішей (наприклад, сплавів) підвищення продуктивності діючих агрегатів та ін. Перш ніж планувати експеримент, потрібно сформулювати мету дослідження. Від точного формування мети значною мірою залежить і успіх дослідження. Необхідно також упевнитися, що об'єкт дослідження відповідає поставленим до нього вимогам.

У технологічних задачах метою дослідження при оптимізації процесу найчастіше є: підвищення експлуатаційної надійності сільськогосподарської техніки. Іноді ставиться обмежена ціль – підвищення ресурсів двигунів внутрішнього згоряння, зменшення витрат дефіцитного палива та ін.

Експеримент може безпосередньо проводитися на об'єкті або на його моделі. Модель звичайно відрізняється від об'єкта масштабом, а іноді і природою. Якщо модель досить точно описує об'єкт, то експеримент на об'єкті може бути замінений експериментом на моделі. Останнім часом поряд з фізичними моделями більше поширення одержують абстрактні математичні моделі.

Для опису поняття «об'єкт дослідження» використовують уявлення про кібернетичну систему, що схематично зображена на рис.7.1. Таку кібернетичну систему називають «чорним ящиком».

Рисунок 7.1 Схема чорного ящика

Стрілки праворуч зображують чисельні характеристики цілей дослідження. Вони позначаються буквою у і називаються вихідними параметрами, або параметрами оптимізації (вихід «чорного ящика»).

Для проведення експерименту необхідно впливати на поведінку «чорного ящика». Усі способи впливу позначаються буквою х і називають вхідними параметрами, або факторами оптимізації (вхід «чорного ящика»).

Кожен фактор може приймати в досліді одне із декількох значень. Такі значення називаються рівнями. Фіксований набір рівнів факторів (тобто встановлення кожного фактора на деякій рівень) визначає один з можливих станів «чорного ящика». Водночас вони є умовами проведення одного з можливих дослідів. Якщо передбачити всі можливі набори станів, то одержимо повну безліч станів «чорного ящика». Одночасно це буде число можливих різних дослідів.

Результати експерименту використовуються для одержання математичної моделі об'єкта дослідження.

Використання для моделі всіх можливих дослідів призводить до значної кількості експериментів, у зв'язку з чим експеримент необхідно планувати. Задачею планування є вибір необхідних для експерименту дослідів, методів математичної обробки їхніх результатів і прийняття рішень.

Окремий випадок цієї задачі – планування екстремального експерименту, тобто експерименту, що ставиться з метою пошуку оптимальних умов функціонування об'єкта.

Таким чином, планування екстремального експерименту – це вибір кількостей та умов проведення дослідів, мінімально необхідних для відшукання оптимальних умов.

При плануванні експерименту об'єкт дослідження повинен воло­діти двома обов'язковими властивостями:

1) результати експерименту повинні бути відтвореними;

2) об'єкт повинен бути керованим.

Експеримент називається відтвореним, якщо при фіксованих умовах досліду в різний час одержуються той же самий вихід у межах заданої помилки експерименту (2-5%).

Для виявлення відтворювання експерименту вибираються деякі і рівні для усіх факторів, і в цих умовах проводиться експеримент. Потім він повторюється через нерівні проміжки часу, і значення параметра оптимізації порівнюються. Розкид цих значень характеризує відтворюваність результатів. Якщо він не перевищує деякої заздалегідь заданої величини (наших вимог до точності експерименту) то об'єкт задовольняє вимозі відтворювання результатів.

Планування експерименту передбачає активне втручання в процес і можливість вибору в кожнім досліді тих рівнів факторів, що становлять інтерес.

Експериментальне дослідження впливу вхідних параметрів (факторів) на вихідні може вироблятися методом пасивного або активного експерименту.

Якщо експеримент зводиться до одержання результатів спостережень за поведінкою системи при випадкових (стохастичних) змінах вхідних параметрів, то він зветься пасивним.

Якщо ж при проведенні експерименту вхідні параметри змінюються по заздалегідь складеному, залежному від волі експериментатора плану, то він називається активним.

Об'єкт, на якому можливий активний експеримент зветься керованим. На практиці немає абсолютно керованих об'єктів. На реальний об'єкт звичайно діють керовані і некеровані фактори. Некеровані фактори впливають на відтворення експерименту.

Якщо усі фактори некеровані, виникає задача встановлення зв'язку між параметром оптимізації і факторами за результатами спостережень за об'єктом або за результатами пасивного експерименту.

7.4 Параметри і фактори оптимізації технологічного процесу

Вибір параметра оптимізації. При плануванні екстремального експерименту дуже важливо вибрати параметр оптимізації, тобто той показник процесу, по якому оптимізація буде проводитись.

Істотну роль при виборі параметрів оптимізації грає рівень початкових відомостей про об'єкт дослідження. При дослідженні технологічних процесів в якості вихідних параметрів розглядаються: продуктивність агрегату, показники якості продукту, його собівартість або сировинні витрати, та ін.

Реальні ситуації завжди складні, вони вимагають одночасного обліку декількох або дуже багатьох параметрів. Але рух до оптимуму можливий, якщо обрано один-єдиний параметр оптимізації. При цьому інші характеристики процесу вже не виступають як параметри оптимізації, а служать обмеженням. Інший шлях – це побудова узагальненого параметра оптимізації як деякої функції від безлічі вихідних. Побудова узагальненого параметра оптимізації пов'язано із створенням єдиної ознаки, що кількісно визначає функціонування досліджуваного об'єкта з багатьма вихідними параметрами.

Параметр оптимізації повинний бути наступним:

– ефективним з точки зору досягнення мсти;

– універсальним;

– кількісним і відбиватись одним числом;

– маючим фізичне значення, простим і таким, що легко обчислюється;

– існуючим для всіх різних станів об'єкта або процесу.

Дуже поширені задач і по оптимізації виходу будь-якого продукту в результаті технологічного процесу (намолот зерна, помел борошна тощо).

Вибір факторів, що визначають процес. Після того, як обрані об'єкт дослідження і параметр оптимізації, потрібно розглянути всі істотні фактори, що можуть впливати на процес.

Усі фактори можна розділити на якісні і кількісні.

Якісні фактори – це різні матеріали, технологічні заходи та ін.

Кількісні фактори – це час процесу, температура, витрата пального, швидкість та ін.

Кожен фактор має область визначення і вважається заданим, якщо разом з його назвою зазначена область його визначення, тобто сукупність усіх значень, які він може приймати. У практичних задачах області визначень факторів обмежені верхинім і нижнім значеннями.

Отже фактори – це змінні величини, що відповідають способам, впливу зовнішнього середовища на об'єкт.

При плануванні експерименту до факторів ставляться наступні вимоги:

1. Фактори повинні бути керованими, це означає можливість їхньої одночасної установки на обраних рівнях і підтримки цих значень протягом досліду.

2. Фактори повинні бути однозначними і безпосередньо впливати на об'єкт дослідження. У плануванні експерименту можуть брати участь складні фактори, такі як співвідношення між компонентами та ін.

3. Точність виміру факторів повинна бути можливо більш високою, але з урахуванням поставленої задачі. Так, якщо вивчається процес, що триває десять годин, то немає необхідності враховувати секунди. При процесах, що тривають хвилини варто відраховувати і секунди.

У процесі планування експерименту звичайно одночасно змінюються кілька факторів. До сукупності факторів ставляться вимоги їхньої сумісності і взаємної незалежності.

Сумісність факторів означає, що всі їхні комбінації, здійснимі і безпечні. Наприклад, не призведуть до відмови агрегату або зіпсуванню приладу, що реєструє.

Незалежність – можливість установлення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова не виконується, експеримент планувати не можна.

При плануванні експерименту дослідник повинен прагнути розглядати вплив як можна більшої кількості факторів. Але чим більше факторів, тим більше дослідів необхідно провести для рішення поставленої задачі.

7.5 Поверхня відгуку і рівняння регресії

Кожен процес у системі може бути охарактеризований деякою залежністю параметра оптимізації від факторів (х ₁, х ₂, х ₃... х_п), що діють у системі. Тому вивчення будь-якої системи можна представити, як дослідження функції багатьох змінних, тобто відшукання залежності виду

, (7.21)

Це рівняння називають функцією відгуку. Воно описує деяку гіперповерхню в «п + 1» – мірному просторі (п – число факторів). Отже, вивчення багатофакторної системи можна уявити, як дослідження форми цієї поверхні, що зветься поверхнею відгуку. Простір, у якому будується поверхня відгуку, називають факторним простором.

Вивчення форми поверхні відгуку, знаходження оптимальних значень, досліджуваних параметрів є сутністю методів планування експерименту.

Якщо проводиться однофакторний експеримент у = f (x ₁). то поверхня відгуку стискується в лінію на площині (рис. 7.2). Умовою оптимального ведення такого процесу буде рівність

x ₁ = x _{1 опт}

При двофакторному експерименті y = f (x ₁, x ₂) поверхня відгуку буде розташовуватися у тримірному факторному просторі (рис. 7.3). У цьому випадку кожній точці на площині х ₁, 0 х ₂ буде відповідати визначена точка на поверхні відгуку.

Рисунок 7.2 – Залежність виходу процесу від одного фактору y = f (x 1)	Рисунок 7.3 – Поверхня відгуку

Рисунок 7.4 – Проекція перетину поверхні відгуку на площину х ₁, 0 х ₂.

Якщо зробити перетин поверхні відгуку площинами, рівнобіжними площині х ₁, 0 х ₂ і отриманні в перетинах лінії (y ₁ = const, y ₂ = const і т.д.) спроектувати на площину х ₁, 0 х ₂, то поверхня відгуку для двофакторного процесу буде зображена на площині (рис. 7.4) аналогічно горизонталям на топографічних картах. Кожна лінія відповідає визначеному значенню параметра оптимізації у і називається лінією рівного відгуку. Точка М на рис. 7.4 є оптимальною точкою, яку ми шукаємо.

При багатьох факторах (п > 3) графічно зобразити поверхня відгуку неможливо і доводиться обмежитися тільки математичними залежностями.

Оскільки дійсний вид функції у = f (х ₁, х ₂, х ₃... х_п), невідомий, для опису поверхні відгуку використовують рівняння, що представляє собою розкладення цієї функції в степеневий ряд:

(7.22)

де х_і, х_j – змінні фактори при і = (1… п); j = (1… п); і ≠ j.

β ₀, β_і, β_ij – коефіцієнти регресії при відповідних змінних, значення яких визначають форму поверхні відгуку.

Таке рівняння називають рівнянням регресії (Регресія (з лат.) – спрощення, перетворення, що веде до спрощення). В цьому рівнянні члени другого ступеня – добутки х_і; x_j і квадратні члени x ² _i, x ² _j характеризують кривизну поверхні.

Чим більше кривина поверхні, тим більше в рівнянні регресії членів вищих ступенів, а отже, і коефіцієнтів регресії, які необхідно визначити.

Це призводить до різкого збільшення числа дослідів, тому на практиці прагнуть обмежитися лінійною моделлю (алгебраїчним поліномом першого ступеня). Для цього експерименти варто проводити у вузькій області поверхні відгуку, щоб досліджуваний процес можна було зобразити площиною.

При цьому рівняння регресії буде мати вигляд

(7.23)

Оскільки площина у являє собою поверхню першого порядку, то всі коефіцієнти регресії при змінних в ступені вище першої перетворюються в нуль.

Якщо необхідно розширити область дослідження процесу (коли не можна обмежитися лінійним наближенням), то необхідно врахувати члени другого ступеня.

(7.24)

Рівняння регресії процесу, вихід якого залежить від двох факторів, буде мати вигляд

(7.25)

де β ₀ – вільний член рівняння,

β ₁, х ₁, β ₂, х ₂ – лінійні члени рівняння,

β ₁₂ х ₁ х ₂ – члени другого порядку, що характеризують ефекти парних міжфакторних взаємодій,

β ₁₁ х ₁², β ₂₂ х ₂² – члени другої порядки – квадратичні члени і т.д.

Дата добавления: 2017-02-01