Расчет электрической цепи методом контурных токов

Контур, состоящий из источника Е ₆ и сопротивления R ₆, можно отделить от остальной схемы, т.к. связь закорочена.

Для этого контура определим ток I₆ по закону Ома

Величины токов в остальных ветвях схемы определяем методом контур­ных токов. Выберем три независимых контура (рис.1). Направления обхода контуров контурными токами I₁₁, I₂₂, I₃₃ показаны на рисунке. Составляем систему контурных уравнений на основании второго закона Кирхгофа.

(1)

где R ₁₁ = R ₁ + R ₂ - собственное сопротивление 1-го контура,

R ₂₂ = R ₂ + R ₃ + R ₄ + R ₅ - собственное сопротивление 2-го контура,

R ₃₃ = R ₃ + R ₇ - собственное сопротивление 3-го контура,

R ₁₂ = R ₂₁ = - R ₂ - взаимное сопротивление между 1-м и 2-м контурами.

Поскольку контурные токи I ₁₁ и I ₂₂, протекающие через сопротивление R ₂ , направлены навстречу друг другу, сопротивление R ₂ берется со знаком минус.

R ₂₃ = R ₃₂ = - R ₃ - взаимное сопротивление между 2-м и 3-м контурами,

R ₁₃ = R ₃₁ = 0, т.к. 1-ый и 3-ий контуры не имеют непосредственной связи,

R ₁₁ = R ₁ + R ₂ = 12 + 3 = 15 Ом,

R ₂₂ = R ₂ + R ₃ + R ₄ + R ₅ = 3 + 6 + 6 + 6 = 21 Ом.

Запишем численные значения сопротивлений

R ₃₃ = R ₃ + R ₇ = 6 + 6 = 12 Ом,

R ₁₂ = R ₂₁ = - R ₂ = - 3 Ом,

R ₂₃ = R ₃₂ = - R ₃ = - 6 Ом.

С учетом направлений э.д.с. источников и направления обхода соответствующих контурных токов запишем

Е ₁₁ = Е ₁ - Е ₂ = 120 - 30 = 90 В (с учетом направлений э.д.с. и направления обхода первого контура контурным током I ₁₁),

Е ₂₂ = Е₂ - Е ₃ - Е ₄ = 30 - 90 -90 = - 150 В,

Е ₃₃ = Е ₃ = 90 В.

Подставляем полученные значения сопротивлений и э.д.с. в систему уравнений (1):

15 I ₁₁ - 3 I ₂₂ + 0 = 90

-3 I ₁₁ + 21 I ₂₂ - 6 I ₃₃ = -150 (2)

0 - 6 I ₂₂ + 12 I ₃₃ = 90

Имеем 3 уравнения с тремя неизвестными, которые определяем с помощью главного определителя системы и соответствующих дополнений. Контурные токи определяем из следующих формул

, , .

Главный определитель системы D

= = 3132

Дополнение D₁ получается заменой первого столбца главного определителя столбцом свободных членов

Дополнение D₂ получается заменой второго столбца главного определителя столбцом свободных членов

Дополнение D₃ получается заменой третьего столбца главного определителя столбцом свободных членов

Величины контурных токов

, , .

Токи в ветвях определяем через контурные токи. Выберем произвольное направление токов в ветвях (см. рис.1)

Величина и направление тока 1-ой ветви I ₁ совпадает с контурным током I ₁₁. Соответственно I ₁ = I ₁₁ = 5 А. Аналогично I ₇ = = I ₃₃= 5 А.

Токи в 4-ой и в 5-ой ветвях направлены навстречу контурному току I ₂₂, поэтому

I ₄ = I ₅ = - I ₂₂ = 5 А.

Токи во 2-ой и в 3-ей ветвях - есть разность соответствующих контурных токов

I ₂ = I ₁₁ - I ₂₂ = 10 А, I ₃ = I ₃₃ – I ₂₂ = 10 А.

Знак (-) перед значением тока ветви означает, что на самом деле ток протекает в противоположном направлении.

Дата добавления: 2017-02-01