Расчет электрической цепи методом узловых потенциалов

Проверка баланса мощностей источников и приемников энергии.

E ₁ I ₁- E ₂ I ₂+ E ₃ I ₃+ E ₄ I ₄ + E ₆ I ₆= R ₁+ R ₂+ R ₃+ R ₄+

+ R ₅ + R ₆+ R ₇,

120×5-30×10+90×10+90×5+120×5=5²×12+10²×3+10²×6+5²×6+ +5²×6+5²×24+5²×6,

225250 Вт =25250 Вт.

Баланс мощностей сошелся, следовательно, задача решена правильно.

Рис.2. Схема для расчета сложной цепи постоянного тока методом

узловых потенциалов.

Ветвь с э.д.с. Е ₆ закорочена, поэтому можем сразу определить ток I ₆ по закону Ома, I ₆= А.

Примем потенциал узла 4 равным нулю (j₄ =0). Число уравнений в нашем случае равняется числу узлов минус два.

Составляем три уравнения для узлов 1,2,3.

j₁ G ₁₁ + j₂ G ₁₂ + j₃ G ₁₃ = I ₁₁

j₁ G ₂₁ + j₂ G ₂₂ + j₃ G ₂₃ = I ₂₂ (3)

j₁ G ₃₁ + j₂ G ₃₂ + j₃G₃₃ = I ₃₃

где j₁,j₂,j₃ – потенциалы узлов 1,2,3; G ₁₁ , G ₂₂ , G ₃₃ - суммы проводимостей ветвей, сходящихся в соответствующем узле; G ₁₂ , G ₁₃ , G _21, G ₂₃, G ₃₁, G₃₂ - суммы проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих соответствующие узлы, взятые со знаком минус. Если между какими-либо узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю; I ₁₁, I ₂₂, I ₃₃ – узловые токи. Если э.д.с. ветви напра влена к соответствующему узлу, то она записывается с плюсом, если э.д.с. направлена от узла, то она записывается с минусом.

Подсчитаем проводимости

G ₁₁= = 0,5833 Cм,

G ₂₂= = 0,5 Cм,

G ₃₃= Cм,

G ₁₂ = G ₂₁= - = - = - 0,1667 Cм,

G ₁₃=- G ₃₁= 0, поскольку нет связи между 2 и 3 узлами.

G ₂₃= G ₃₂= - ( )= - = - 0,3333 См.

Узловые токи

I ₁₁= Е ₁ g ₁ + Е ₂ g ₂=120· +30· = 20 А,

I ₂₂= Е ₃ g ₃=90· = 15 А,

I ₃₃= - Е ₃ g ₃+ Е ₄ g ₄ = - 90· + 90· = 0.

Подставляем полученные значения проводимостей и узловых токов в систему уравнений (3):

0,5833j₁ – 0,1667j₂ – 0·j₃ = 20

- 0,1667j₁ + 0,5j₂ – 0,3333j₃ = 15 (4)

j₁ – 0,3333j₂ + 0,5j₃ = 0

Имеем три уравнения с тремя неизвестными, которые определяем с помощью главного определителя системы и дополнений:

Δ = = 0,5833·0,5·0,5 –

- 0,5833·0,3333·0,3333 – 0,1667·0,1667·0,5 = 0,06713;

Δ₁ = = 20·0,5·0,5 + 0,1667·15·0,5-

- 20·0,3333·0,3333 = 4,0285;

Δ₂ = = 0,5833·15·0,5+20·0,1667·0,5= 6,04175;

Δ₃= = 0,5833·0,3333·15 +20·0,1667·0,3333=

= 4,02743.

Имеем решение

j₁ = В, j₂= В,

j₃ = В.

Заключительный этап состоит в подсчете токов в ветвях по закону Ома

I ₁ = = A,

I ₂ = = A,

I ₃ = = A,

I ₄ = = A,

I ₅ = = A,

I ₆ = = A,

I ₇ = = A.

Дата добавления: 2017-02-01