Тестування наявності мультиколінеарності. Алгоритм Фаррара-Глобера.

Найповніше дослідити мультиколінеарність можна за допомогою алгоритму Фаррара - Глобера. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, згідно з якими перевіряється мультиколінеарність усього масиву незалежних змінних (за допомогою критерію c²), кожної незалежної змінної з рештою змінних (за допомогою F - критерію), кожної пари незалежних змінних (за допомогою t - критерію).

Опишемо алгоритм Фаррара - Глобера.

1. Проводять стандартизацію (нормалізацію) змінних за формулами:

де  - число спостережень;  - число пояснюючих змінних;  - середнє арифметичне -ї пояснюючої змінної ( );  - дисперсія -ї пояснюючої змінної.

2. Знаходять кореляційну матрицю:

1) ;   2)    де  - матриця стандартизованих незалежних (пояснюючих) змінних,  - матриця, транспонована до матриці .

3. Обчислюють критерій c² :

де  — визначник кореляційної матриці .

Значення критерію порівнюється з табличним при  ступенях вільності і рівні значущості . Якщо c²>c²_табл то в масиві пояснюючих змінних існує мультиколінеарність.

4. Визначають обернену матрицю:

. 

5. Обчислюють F-критерії:

   де  - діагональні елементи матриці .

Фактичні значення критеріїв  порівнюються з табличними при  і ступенях свободи і рівні значущості . Якщо , то відповідна -та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Розраховують коефіцієнт детермінації для кожної змінної:

       

6. Знаходять частинні коефіцієнти кореляції:

    де  - елемент матриці , що міститься в -му рядку і -му стовпці; і  - діагональні елементи матриці .

7. Обчислюють t-критерії:

Фактичні значення критеріїв  порівнюються з табличними при  ступенях свободи і рівні значущості . Якщо , то між незалежними змінними  і  існує мультиколінеарність.

50. У чому суть методу найменших квадратів (МНК)?

Можна показати, що властивості оцінок коефіцієнтів регресії ( ), а також і якість побудованої регресії істотно залежать від властивостей випадкового відхилення ( ). Доведено, що для одержання за МНК найкращих результатів необхідно, щоб виконувався ряд передумов щодо випадкового відхилення.

Передумови МНК (умови Гаусса – Маркова):

1°. Математичне сподівання випадкового відхилення  дорівнює нулю:  для всіх спостережень.

2°. Дисперсія випадкових відхилень  постійна: для будь-яких спостережень  і .

Здійсненність даної передумови називається гомоскедастичністю, нездійсненність – гетероскедастичністю.

3°. Випадкові відхилення  і  є незалежними ( ):

                                                                                                  

У випадку, якщо дана умова виконується, то говорять про відсутність автокореляції.

4°. Випадкове відхилення незалежне від пояснюючих змінних:

           (4)

5°. Модель є лінійною щодо параметрів.

Теорема Гаусса-Маркова. Якщо передумови 1° – 5° виконані, то оцінки, отримані за МНК, мають наступні властивості:

1. Оцінки є незміщеними, тобто , .

2. Оцінки спроможні (обґрунтовані), тобто дисперсія оцінок параметрів при зростанні числа  спостережень прагне до нуля: ,.

3. Оцінки ефективні, тобто вони мають найменшу дисперсію в порівнянні з будь-якими іншими оцінками даних параметрів, лінійними щодо величин .

Дата добавления: 2023-11-03