Частные производные, производная и градиент ФНП

Записать множество решений неравенства (множество областей знакопостоянства функции) как ОБЪЕДИНЕНИЕ соответствующих областей Df.

Пример. Найти и изобразить на плоскости (1) область определения D_f и (2) области знакопостоянства (f(x,y)>0; f(x,y)<0) функции

Экз- 1. Изобразитьна плоскостиобласть определенияи области знакопостоянства функции:

Пусть функция непрерывна в точке .

Зафиксируем все переменные кроме переменной х_к равными соответствующим координатам точки а: x_i=a_i; i=1:n; i≠k и рассмотрим функцию ОДНОЙ переменной - «сужение» функции f на прямую L_k, проходящую через точку а параллельно «к»-ой координатной оси. Очевидно, что функция непрерывна в точке «а_к»: и для нее определена φ'(a).

Определение 1.3 Если для ФОП в точке «а_к» существует производная , ее называют частной производной ФНП f в точке а по переменной х_к и пишут:

(1)

Следствие. 1) В точке непрерывности а определены «n» частных производных ФНП.

2) При нахождении частных производных ФНП «работают» правила дифференцирования ФОП.

Определение 2. 3 Если в точке существуют все “n” частных производных,

- матрица-строка называется производной функции f в точке а,

- вектор называется градиентом функции f в точке а.

Пример. f(x,y)=xe^xy непрерывна в R² и а=[1;2]^t

è По правилам дифференцирования:

==>

ЭКЗ-2: Найти f'(А) по определению и как «значение» производной функции f'(x,y) в точке А, если f(x,y)= arcsin(x/y); A(1,2). Изобразить на плоскости вектор grad f(a).

Дата добавления: 2014-01-04