Расчет при свободных параметрах фильтра

Расчет параметров корректирующего фильтра

Выбор желаемого распределения корней

Характеристический полином A(p) замкнутой системы (1.4) имеет порядок, согласно (1.5), N = n + k, где n - порядок объекта, а k - порядок фильтра. Представим А(p)

в виде произведения двух сомножителей:

(1.10)

Корни p_j, j = 1...n+k уравнения А(р) = 0 разделим на две группы, соответствующие корням уравнений

С(р)=0,… p₁,.....p_n (1.11)

L(р) = 0,… p_n+1,.....p_n+k (1.12)

Свободное движение в системе, вызванное начальными условиями, может быть описано следующим образом [3]:

Постоянные коэффициенты определяются начальными условиями.

Первое слагаемое этого выражения соответствует группе корней (1.11), второе - группе корней (1.12). Для устойчивой системы, разумеется, все корни должны иметь отрицательные вещественные части.

Если расположить желаемые корни на комплексной плоскости так, чтобы группа корней (1.12) лежала существенно левее группы (1.11), то динамические свойства системы управления будут определяться первым слагаемым (1.13), т.е. группой корней

(1.11), соответствующих полиному С(р) = 0:

max Rе½p_i½ < < min Re½p_j½; i = 1...n; j=n+1...,n+k (1.13)

Оценку быстродействия системы будем производить по степени устойчивости системы h, которую определим как наименьший модуль реальной части среди всех корней. Длительность T переходного процесса системы оценивается соотношением

, h = min ½Re(p_i)½, i = 1...n (1.14)

При назначении желаемого распределения корней нецелесообразно выбирать близкие, а тем более кратные корни, т.к. в этом случае они очень чувствительны к изменению физических параметров системы [4].

Вещественные части корней целесообразно располагать, например, по арифметической прогрессии. Коэффициенты затухания V для колебательных составляющих А(р) рекомендуется назначить в диапазоне.

Основное уравнение (1.4) для расчета параметров с учетом (1.10) можно записать:

А(р) = С(р) L(р) = D(р) R(p) + B(p) G(p) (1.15)

Здесь полиномы D(р) и B(p), (1.1), заданы объектом управления, полином С(р), (1.10), задан желаемыми динамическими свойствами замкнутой системы управления,

полином L(p) удовлетворяет условиям (1.13). Соотношение (1.15) позволяет решать несколько разновидностей задачи синтеза системы управления.

Зададим полиномы C(p) и L(р), отвечающие условиям (1.13). Это позволяет вычислить все коэффициенты полинома А(р):.

Приняв, в соответствии с (1.9), k = n = n - 1, из (1.5) получим N = 2n - 1.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р в (1.15), получим систему уравнений, определяющую параметры корректирующего фильтра:

(1.16)

Алгебраическая система уравнений (1.16) является линейной неоднородной, и может быть приведена к матричной форме:

H * X =Y (1.17)

Здесь обозначено:

Матрица- столбец Y правых частей с размерностью (2n-1)*1:

(1.18)

Искомая матрица-столбец Х с размерностью (2n-1)*1:

) (1.19)

Квадратная составная матрица Н коэффициентов объекта с размерностью

(2n-1)*(2n-1), которую можно представить:

(1.20)

В свою очередь, квадратная треугольная нижняя матрица Н1 с размерностью n*n

(1.21)

Прямоугольная матрица Н2 с размерностью n*(n-1)

(1.22)

Прямоугольная матрица Н3 с размерностью (n-1)*n

(1.23)

Квадратная треугольная верхняя матрица Н4 с размерностью (n-1)*(n-1)

(1.24)

Система уравнений (1.17) имеет решение, если

det H ¹ 0 (1.25)

Из выражений 1.20--1.24 следует несколько частных случаев безусловного выполнения условия (1.25).

Если в числителе передаточной функции объекта не содержится символа р,

т.е. В(р) = b₀, то матрица H является верхней треугольной.

Если знаменатель передаточной функции объекта имеет форму D(p) = pⁿ, то матрица Н является нижней треугольной.

Если, то матрица Н является диагональной. Поскольку в главной

диагонали матрицы Н отсутствуют нули. то условие (1.25) в этих случаях выполняется. Исследования показывают, что det H = 0 в тех случаях, когда полиномы B(p) и D(p) имеют одинаковые корни.

В качестве примера приведем все соотношения для объекта 5 -го порядка (n = 5) и фильтра 4-го порядка (k = 4).

W_ф =

;

Из приведенного примера видны все особенности построения системы уравнений (1.17)

Дата добавления: 2014-01-04