Подбор частного решения для неоднородного уравнения с постоянными

Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (метод вариации произвольных постоянных, метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции).

Распространим метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный в лекции 19 для решения линейного уравнения первого порядка, на линейные уравнения высших порядков. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде . При этом требуется найти п неизвестных функций с ₁(х), с ₂(х),…, с_п (х), которые удовлетворяли бы только одному уравнению

. (22.1)

Поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п- 1 уравнениям, выбранным так, чтобы производные функции имели по возможности такой же вид, как при постоянных c_i. Первая производная решения имеет вид: . Потребуем, чтобы вторая сумма в этом выражении равнялась нулю: , тогда . Зададим такое же условие для второй производной:

, , . Продолжая вычислять производные функции до порядка п – 1 включительно и требуя каждый раз, чтобы , получим:

(22.2)

(в последнем равенстве уже нельзя потребовать, чтобы вторая сумма равнялась нулю, так как на искомые функции уже наложено п – 1 условие, а последним требованием является то, что эти функции должны удовлетворять уравнению (22.1)). Подставив с учетом (22.2) в (22.1), получим:

,

но y_i – частные решения однородного уравнения, следовательно, все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему: . (22.3)

Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы (22.2), получим систему из п уравнений для определения с₁΄, с₂΄,…, с_п΄, определитель которой является определителем Вронского для функций у₁, у₂,…, у_п и, следовательно, не равен нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций, а затем с помощью интегрирования и сами функции с₁, с₂,…, с_п.

Пример.

. Найдем решение однородного уравнения, для чего составим характеристическое уравнение k ² - 2 k + 1 = 0, k₁ = k₂ = 1. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у = (с₁ + c ₂ x) е^х, то есть фундаментальную систему решений составляют функции у₁ = е^х и у₂ = хе^х. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде у = с₁ (х) е^х + с₂ (х) хе^х. Составим систему (22.2):

, откуда ,

, где С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: у = е^х (х ln| x | - x + C₁x + C₂).

Дата добавления: 2013-12-12