Комплексные числа

Алгебраические многочлены и дробно-рациональ­ные функции.

Мнимая единица − это (imaginary). Так как , то не может быть действительным числом. Комплексным числом называется сумма вида , где . Число называется действительной частью , число называется мнимой частью . Записывается это так: . Ещё раз подчёркиваем, что (как и ) ― действительное число. Вводя на множестве комплексных чисел обычные операции сложения и умножения, получаем поле комплексных чисел .

Поставим в соответствие комплексному числу точку с декартовыми координатами . Полярные координаты этой же точки обозначим . В таком случае . Поэтому . Ясно, что . В отличие от алгебраической записи , равенство называется тригонометрической записью комплексного числа . Число называют модулем , число − аргументом ; их обозначения: .

Число называют сопряженным к числу . Ясно, что .
Операции в поле .

Если , , то , а . Впрочем, перемножать комплексные числа удобнее, если использовать их тригонометрическую запись. Действительно,

.

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Это подсказывает еще одну форму записи комплексных чисел − показательную или экспоненциальную: . Более естественное обоснование формул Эйлера

,

связывающих показательную функцию и тригонометрические функции, будет дано
в теории степенных рядов.

Отметим свойства операции сопряжения: , , .

2˚. Алгебраические многочлены. Мы будем рассматривать алгебраические многочлены , зависящие от комплексной переменной , с комплексными
коэффициентами .

Теорема Гаусса (О сновная теорема алгебры). Алгебраический многочлен степени имеет ровно (комплексных) корней с учетом их кратности.

Это означает, что существует разложение .
Здесь − попарно различные корни многочлена, а натуральные числа − кратности этих корней. Ясно, что .

Следствие 1. Пусть известно, что все коэффициенты многочлена − действительные числа. В таком случае, если число является корнем кратности , то также − корень этого многочлена.

Доказательство*. Имеем , так как − действительные числа. Следовательно,

Следствие 2. Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.

Это вытекает из того, что .

3˚. Дробно-рациональные функции. Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае дробь − неправильная. Деля числитель дроби на знаменатель, можно превратить неправильную дробь в сумму многочлена и правильной дроби. Поэтому, для того, чтобы суметь проинтегрировать любую рациональную функцию нужно научиться интегрировать правильные дроби. Для этого нам потребуется умение разбить правильную дробь на простые дроби и умение интегрировать простые дроби. Начнем с определения.

Определение. Дробь называется простой, если её знаменатель представляет собой линейную или квадратичную скобку в натуральной степени, а степень числителя на единицу, меньше чем степень многочлена, стоящего внутри этой скобки.

Теорема. Правильная дробь с действительными коэффициентами единственным способом может быть представлена в виде суммы простых дробей. Здесь каждой скобке в разложении знаменателя отвечает группа простых дробей, содержащих в знаменателях эту скобку в степенях от первой до той, с которой скобка входит в разложение знаменателе исходной дроби.

Пусть, например, . Тогда знаменатель можно разложить на множители минимальной степени =. Поэтому разбивается на простые дроби следующим образом: . Для нахождения значений обычно используют метод неопределенных коэффициентов. Мы обсудим этот прием при рассмотрении последующих примеров.

Доказательство теоремы легко получить с помощью следующих двух лемм.

Лемма 1. Пусть − многочлены с действительными коэффициентами, − действительное число, причем и N. Существует единственное действительное число и многочлен с действительными коэффициентами такие, что выполняется тождество

.

Доказательство леммы 1. Рассмотрим разность

.

Многочлен делится на двучлен тогда и только тогда, когда , т.е. , так как .

Лемма 2. Пусть − многочлены с действительными коэффициентами, − комплексное число , . Пусть еще известно, что (иначе говоря, не делится ) и что N. Тогда существует единственная пара действительных чисел и многочлен с действительными коэффициентами , такие что

.

Доказательство леммы 2. Рассмотрим разность

.

Числитель последней дроби делится на квадратный трехчлен тогда и только тогда, когда или . Последнее отношение определено, так как . Запишем это отношение в виде . Тогда для нахождения чисел получим линейную систему с действительными коэффициентами: . Эта система имеет единственное (действительное) решение , так её определитель по условию отличен от нуля.

Дата добавления: 2013-12-13