Уравнение цилиндрической и конической поверхностей

Уравнение общего вида, описывающее поверхности и линии в пространстве.

Дана декартовая система координат X,Y,Z. Пусть в ней имеется уравнение

Ф(x,y,z)=0 (4)

Уравнение описывает поверхность S в пространстве, если:

1. координаты x,y,z точки, принадлежащей поверхности S, удовлетворяют уравнению (4).

2. координаты x,y,z точки, не принадлежащей поверхности S, не удовлетворяют уравнению (4).

Замечание: не уравнение вида (4) является уравнением некоторой поверхности, например:

Пример: Сфера – это геометрическое место точек, расстояние от которых до некоторой фиксированной точки равно R.

- уравнение сферы с центром в точке M(a,b,c) и радиусом R.

Рассмотрим два уравнения:

Ф₁(x,y,z)=0 (5)

Ф₂(x,y,z)=0

Каждое из уравнений (5) описывает некоторую поверхность. Пусть эти поверхности пересекаются. Тогда линией пересечения этих поверхности будет некоторая кривая L. Поэтому естественно считать, что уравнения (5) задают некоторую кривую L в пространстве, если:

1) координаты x,y,z любой точки, принадлежащей L, одновременно удовлетворяют обоим уравнениям;

2) координаты x,y,z любой точки, не принадлежащей L, одновременно не удовлетворяют обоим уравнениям.

Поверхность S называется цилиндрической с образующей, параллельной оси OZ, если для нее выполняется следующее свойство: прямая, проведенная через любую точку M(которая принадлежит S, параллельно оси OZ целиком принадлежит этой поверхности S.

Аналогично можно дать определение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной осям OX или OY.

Покажем, что если поверхность S описывается уравнением:

F(x,y)=0 (6),

то это поверхность цилиндрическая с образующей, параллельной оси OZ.

Доказательство.

Рассмотрим точку M(принадлежащую S. Тогда F(=0.

Проведем через точку прямуюпараллельную оси OZ. Возьмем на этой прямой точку M(x,y,z). Очевидно, что для всех точек прямой справедливо: x=y=, а следовательно F(=0. Отсюда следует, что все точки прямой принадлежат S, то есть S – цилиндрическая поверхность. Доказательство завершено.

Система ,

z=0

описывает кривую в плоскости O_xy

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в начале координат, если прямая, проходящая через произвольную точку этой поверхности (отличную от начала координат) и начало координат целиком принадлежит поверхности S.

Функция F(x,y,z) называется однородной степени n, если для действительного числа k справедливо:

(6)

Покажем, что если - однородная функция степени n, то является уравнением конической поверхности.

Рассмотрим произвольную точку M(, принадлежащую S:

F(

Проведем прямую через начало координат и точку .

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z), принадлежащую прямой. Тогда вектор коллинеарен, следовательно: =k

Поэтому справедливы следующие равенства:

x=k

y=k

z=k

Подставив эти точки в уравнение , получим:

(k k k )= F (=0

Пример. - функция однородная, степени 2. Следовательно, справедливо: - уравнение конической поверхности - конуса второго порядка.

Дата добавления: 2013-12-13