Приклад. Добуток елементів головної діагоналі при будь-якому nбереться зі знаком >0

Добуток елементів головної діагоналі при будь-якому nбереться зі знаком >0.

а₁₁ а₂₂ а₃₂

1 2 3... n

1 2 3... n

t=0

S=0

N=t+S=0

Приклад 2. Обчислити визначник:

a₁₁ a₁₂ a₁₃ 0

a₂₁ a₂₂ 0 a₂₄ = (-1)^N1_*a_12*a_21*a_34*a₄₃+(-1)^N2a_12*a_24*a_31*a₄₃+(-1)^N3_*a_13*a_21*a_34*a₄₂++(-1)^N4_*a_13*a_24*a_31*a₄₂=

a₃₁ 0 a₃₃ a₃₄ =a_12*a_21*a_34*a₄₃+a_12*a_24*a_31*a₄₃-a13_*a21_*a34_*a42+a13_*a24_*a31_*a42

N1-кількість інверсій t1+S1

N2 - кількість інверсій t2+S2

N3 - кількість інверсій t3+S3

N4- кількість інверсій t4+S4

Означення: Мінором k-того порядку в деякому визначнику D називається визначник М складений з елементів на перетині будь-яких k-рядків,k-стовпців визначника D.

Заувадення: Мінор нульового порядку дорівнює 1.

Означення: Допоміжним мінором М в визначнику D називається мінор М` з визначника D з використанням k-рядків,k-стовпців в яких є мінор D.

Приклад 3

а11 а12 а13 а14

D₄= а21 а22 а23 а24

а31 а32 а33 а34

а41 а42 а43 а44

а12 а14

Для мінора М= а42 а44

а21 а23

Допоміжним мінором М`= а31 а33

Означення: Алгебраїчним доповненням А для мінора М в визначнику D є його допоміжний мінор М ` зі знаком +,якщо сума S дорівнює сумі рядків і стовпців, в яких є мінор – парна і -, якщо непарна.

А=(-1)^2+1_3+3_*М `=- М `

Означення: Визначник симетричний, якщо його елементи відносно головної діагоналі володіють властивістю a_ij=a_ji, визначник строго симетричний, якщо його елементи володіють властивістю a_ij=-a_ji, а елементи головної діагоналі дорівнюють нулю.

Приклад 4

Обчислити визначник виду:

0 а12 а13.…а1n

D= -a21 0 a23…..a2n =d_*(-1)ⁿ=d

-a31 –a32 0…...-a3n

….……………………………

-a1n –a2n………………0

Розв`язання

Помнжимо кожний рядок на (-1) та отримаємо транспонований визначник,що = деякому числу d.

Нехай n-непарне, тоді маємо:

-d=d

2d=0

d=0

Висновок: будь-який симетричний визначник непарного порядку дорівнює нулю.

Дата добавления: 2013-12-14