Замечания. 3) Круг, ограниченный этой окружностью, определяется неравенством:

Примеры.

Примеры.

Замечания.

3) Круг, ограниченный этой окружностью, определяется неравенством:

4) Внутренняя область этого круга определяется строгим неравенством:;

5) Внешняя область этого круга определяется неравенством:

Пример 2. По уравнению в полярных координатах построим линию, называемую кардиоидой (кардио - сердце).

М(ρ, Ө): ρ=α(1+cos Ө)

Ө	0^0	90^0	180^0	270^0	360^0
ρ	2а	а		а	2а

Составим уравнение кардиоиды в прямоугольных декартовых координатах.

Имеем: cosӨ=

При возведении в квадрат обеих частей уравнения здесь не получается посторонних решений (линия симметрична относительно оси Ох).

2⁰. Пусть фигура Φ₁ задана уравнением: Ғ₁(х,у)=0, а фигура Φ₂ – уравнением: Ғ₂(х,у)=0

Тогда:

1) объединение этих фигур Φ₁ и Φ₂ задается уравнением Ғ₁(х,у) Ғ₂(х,у)=0

2) пересечение этих фигур задается системой уравнений:

1) х=0 – уравнение оси ординат Оу, у=0 – уравнение оси абсцисс Ox.

2) х у=0 – уравнение пары прямых Ох и Оу.

3) s w:val="24"/></w:rPr><m:t>=0</m:t></m:r></m:e></m:eqArr></m:e></m:d></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> - система уравнений, определяющая точку – начало координат О(0;0)

4)– системауравнений, определяющая четверку точек А(1,0), В(0,1), С(-1,0), Д(0,-1).

Определение 2. Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат (в частности, в прямоугольной декартовой) уравнение этой линии можно представить в виде: Ғ(х,у)=0, где Ғ(х,у) – многочлен от переменных х, у, то есть сумма одночленов вида (а R, s, t Z). Степенью члена при а ≠0 называется число s+t. Степенью многочлена Ғ(х,у) называется наивысшая степень его членов. Степень многочлена Ғ(х,у) называется порядком данной линии.

1) или – прямая линия – алгебраическая линия 1-го порядка.

2) х²+у²=1 или х²+у²-1=0 – окружность – алгебраическая линия 2-го порядка.

3) (х²+у²-ах)²=а²(х²+у²) или (х²+у²-ах)²-а²(х²+у²)=0 – кардиоида – алгебраическая линия 4-го порядка.

4) – не является алгебраической линией (таких линий существует бесконечное множество, еще, например, y=e ͯ они называются трансцендентными (выходящими за пределы).

Замечание 1. Можно доказать следующую теорему: понятия алгебраической линии и ее порядка не зависят от выбора аффинной системы координат.

Определение 3. Аналитической геометрией на плоскости называется раздел геометрии, в котором свойства алгебраических линий второго и первого порядков исследуются алгебраическими методами.

2) Одним из основателей аналитической геометрии (наряду с Пьером Ферма) является Рене Декарт – французский философ, математик, физик, физиолог;

3) В дальнейшем будем использовать только прямоугольную декартову систему координат.

Дата добавления: 2013-12-14