Пример использования метода Гаусса

Решить систему уравнений:

(4.8)

Исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого сначала умножим первое уравнение на 0,3 и результат прибавим ко второму. Затем умножим первое же уравнение на -0,5 и результат прибавим к третьему. Получим:

(4.9)

Прежде чем исключить x₂ из третьего уравнения, заметим, что коэффициент при x₂ во втором уравнении (ведущий элемент) мал. Поэтому было бы лучше переставить второе и третье уравнения. Однако мы проводим вычисления в рамках точной арифметики и погрешности округлений не опасны.

В системе (4.9) умножим второе уравнение на 25 и результат сложим с третьим уравнением. Получим систему в треугольном виде:

(4.10)

На этом заканчивается прямой ход метода Гаусса.

Обратный ход состоит в последовательности вычислении x₃, x₂, x₁ соответственно из третьего, второго и первого уравнений:

.

4.4. Блок – схема итерационного метода Зейделя

Является одним из самых распространенных итерационных методов решения систем линейных уравнений. Блок – схема алгоритма этого метода аналогична другим итерационным методам (см. рис.4.1).

Рис. 4.1. Блок – схема алгоритма итерационного метода Зейделя

Обозначения на рис. 4.1: x_i⁽⁰⁾ – начальные приближения значений неизвестных, k – номер итерации, n – количество уравнений, a_ij – коэффициенты уравнений (при неизвестных x_i), b_i – свободные члены (правые части уравнений), δ – величина, характеризующая близость значений x_i^(k) и x_i^(k-1), ε – точность решения (допустимая величина погрешности).

После выбора начальных приближений организуется циклический вычислительный процесс, каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получаются новые значения неизвестных. При малом изменении этих значений на двух последовательных итерациях вычисления прекращаются. Происходит вывод значений неизвестных, полученных на последней итерации.

Дата добавления: 2014-01-04