Плоскость. В школьном курсе геометрии прямая рассматривается как основное (неопределяемое) понятие

Прямая

В школьном курсе геометрии прямая рассматривается как основное (неопределяемое) понятие. Поскольку в данной аксиоматике основные понятия – точка и вектор, то прямую необходимо определить через них.

Определение 1.

Прямой с начальной точкой М₀ и направляющим вектором называется множество всех точек М пространства Е, удовлетворяющих условию , где aÎR.

На языке математических символов это определение можно записать так: . Можно изменить определение, учитывая, что множество векторов является одномерным линейным векторным пространством и называется направляющим подпространством прямой. Тогда .

Теорема 1.

Прямые существуют. Каждая прямая содержит бесконечно много точек. Существует хотя бы одна точка, не лежащая на данной прямой.

Доказательство. По аксиоме Т₁ существует хотя бы одна точка М ₀Î Е. Так как пространство V трехмерно, то существует хотя бы один вектор . Рассмотрим все векторы . По аксиоме Т₂ существуют точки М Î Е и удовлетворяющие условию . Множество всех таких точек М есть прямая (по определению 1).

Так как R – бесконечное множество, то на прямой существует бесконечное множество точек. Так как пространство трехмерно, то существует хотя бы один вектор . По аксиоме Т₂ существует точка N такая, что (рис. 4.1). Теорема доказана.

Теорема 2. О замене начальной точки и направляющего вектора

Для любой прямой в качестве начальной точки можно выбрать любую точку, лежащую на прямой, а в качестве начального вектора – любой вектор .

Дано: , .

Доказать: 1) ; 2) .

Доказательство. Множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

1) Пусть М Î s, тогда . N Î s, тогда . По аксиоме Т₃ , т.е. , где . Доказали, что если М Î s, то , а так как М – произвольная точка прямой s, то .

Пусть , тогда . По аксиоме Т₃ , т.е. М Î s и .

Так как и , то .

2) Пусть М Î s, тогда . Так как по условию (откуда ), то , т.е. и .

Пусть , тогда , т.е. М Î s и .

Так как и , то .

Теорема доказана.

Теорема 3.

Через любые две различные точки проходит единственная прямая.

Дано:

Доказать: 1) существует прямая s: ;

2) прямая s – единственная.

Доказательство.

1) Существование. Для доказательства достаточно указать начальную точку прямой и ее направляющий вектор. В качестве начальной точки можно выбрать любую из данных точек, например М ₁. В качестве направляющего вектора выберем (рис. 4.2), по условию , значит, (по следствию С₁).

Рассмотрим прямую и докажем, что прямая проходит через данные точки. По определению прямой , следовательно, . , следовательно, .

Существование прямой, проходящей через две различные точки доказано.

Замечание. Прямую можно обозначать так: .

2) Единственность. Пусть прямая также проходит через данные точки М ₁ и М ₂. По теореме 2 заменим начальную точку . Так как , то , т.е. . Доказали, что . По теореме 2 заменим направляющий вектор . Прямая, проходящая через две данные точки единственна.

Теорема доказана.

Замечание. Любой ненулевой вектор в направляющем подпространстве образует в нем базис, поэтому допускаем для направляющего вектора прямой название базисный вектор прямой s или, коротко, базис.

Плоскость задается начальной точкой и базисом, состоящим из двух неколлинеарных векторов.

Определение 2.

Плоскостью с начальной точкой М ₀ и направляющими векторами и , , называется множество точек М пространства, удовлетворяющих условию , где a,b ÎR, т.е.

.

Направляющим подпространством плоскости s является двумерное векторное пространство

с базисом . Определение плоскости можно записать так:

.

Далее доказываются теоремы о свойствах плоскостей, во многом аналогичные теоремам о свойствах прямых. Условимся считать, что теоремы, доказательства которых не приводятся, рассматриваются в качестве упражнений.

Теорема 4.

В пространстве существует хотя бы одна плоскость. Каждая плоскость содержит бесконечно много точек. Существует хотя бы одна точка, не лежащая на данной плоскости.

Доказательство. По аксиоме Т₁ существует хотя бы одна точка М ₀Î Е. Так как пространство V трехмерно, то существует хотя бы одна пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов .

Откладывая от точки М ₀ векторы (аксиома Т₂), будем получать множество точек М, которое и будет плоскостью . Так как R бесконечно, то на плоскости существует бесконечно много точек.

Рассмотрим точку Р такую, что , тогда Р Ï s. Такой вектор всегда существует (объясните, почему?). Теорема доказана.

Теорема 5. О замене начальной точки и направляющих векторов

Для любой плоскости в качестве начальной точки можно выбрать любую точку, лежащую на этой плоскости, а в качестве направляющих векторов – любые векторы и , удовлетворяющие условию:

, где и .

Дано: , N Î s, , где и .

Доказать: 1) =; 2) =.

Доказательство. 1) Обозначим и Множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Пусть М – произвольная точка плоскости s, М Î s, тогда по определению плоскости . По аксиоме Т₃ . Так как N Î s, то и . Отсюда следует, что .

Пусть М Î s ₁, тогда , = =. Следовательно, что .

Таким образом, , значит, .

2) Обозначим и . Пусть М Î s ₂, тогда , следовательно, .

Пусть М Î s, тогда . По условию , значит, векторы и однозначно выражаются через векторы и (система уравнений имеет единственное решение): , (выполните вычисления самостоятельно и найдите значения ). Следовательно, .

Таким образом, , значит, . Теорема доказана.

Рассмотрим теоремы о способах задания плоскости (теоремы 6-8).

Теорема 6.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и только одна.

Дано: А, В, С – неколлинеарные точки.

Доказать: 1) существует плоскость s: А Î s, В Î s, С Î s; 2) плоскость s – единственная.

Доказательство.

1) В качестве начальной точки можно взять любую из данных точек, например точку А. В качестве базиса выберем векторы , , так как точки А, В, С не лежат на одной прямой (рис. 4.4).

Докажем, что плоскость проходит через данные точки:

,

,

.

Таким образом, плоскость, проходящая через неколлинеарные точки А, В, С существует.

Замечание. Плоскость можно обозначить так: .

2) Докажем, что плоскость единственна. Допустим, что существует плоскость , проходящая через точки А, В, С, т.е. А Î s ₁, В Î s ₁, С Î s ₁. По теореме 5 в качестве начальной точки выберем точку А, т.е. . Так как В Î s ₁, то ; так как С Î s ₁, то , причем , так как А, В, С не коллинеарны. Тогда по теореме 5 плоскость базис можно заменить на , т.е. .

Таким образом, плоскость, проходящая через неколлинеарные точки А, В, С единственна. Теорема доказана.

Теорема 7.

Через любые две пересекающиеся прямые проходит плоскость и только одна.

Теорема 8.

Через любые точку и не проходящую через нее прямую проходит плоскость и только одна.

Теоремы 7 и 8 докажите самостоятельно.

Теорема 9.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Дано: s – прямая, А Î s, В Î s; s – плоскость, А Î s, В Î s.

Доказать: s Ì s.

Доказательство. Прямую s зададим начальной точкой А и направляющим вектором : . По теореме 5 плоскость зададим так: , (рис. 4.5).

Пусть точка М Î s, тогда по определению прямой . По определению плоскости s вектор , следовательно, М Î s. Так как точка М – произвольная точка прямой s, то s Ì s.

Теорема доказана.

Дальнейшее построение геометрии на плоскости требует введения таких фигур, как отрезок, луч, полуплоскость, которые определяются через отношение «лежать между» для точек и дают возможность определить другие фигуры: углы, треугольники, многоугольники и т.д.

3. Отношение «лежать между»

Определение 3.

Точка В лежит между точками А и С, если , 0< a <1.

Обозначение: В / АС (рис. 4.6).

Из определения следует: ,

.

Свойства отношения «лежать между»:

1. Если В / АС, то А, В, С – три различные точки одной прямой.

2. Если В / АС, то В / СА.

3. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Докажем свойства, имея в виду, что

1. Пусть В / АС, тогда (0< a <1). Рассмотрим прямую , , следовательно, А Î s, В Î s, С Î s.

2. По аксиоме Т₃ , т.е. . Так как 0< a <1, то 0<1– a <1, т.е. В / СА.

3. Пусть А, В, С – точки, лежащие на одной прямой , причем . Рассмотрим расположение точек в зависимости от значения a.

1) Пусть 0< a <1, тогда В / АС по определению (рис. 7 а).

2) Пусть a >1. Выразим вектор через (или через ). По аксиоме Т₃ и определению 3 , откуда .

Так как a >1, то 0<<1 и 0<<1. Значит, С / АВ (рис. 7 б).

3) Пусть a <0. Выразим векторы через (или через ). По аксиоме Т₃ , откуда , .

Так как a <0, то 1– a >1 и 0<<1. Следовательно, А / ВС (рис. 7 в).

Дата добавления: 2014-01-05