Переменные ставки и реинвестирование

Финансовое соглашение может предусматривать не только постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавли­вать изменяющуюся во времени (переменную) ставку. Напри­мер, наличие инфляции вынуждает периодически варьировать процентной ставкой. В частности, в соглашении может быть оговорена так называемая плавающая процентная ставка (floating interest rate), когда фиксируется не сама ставка, а изме­няющаяся во времени ее база и маржа (margin) - величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока сделки бывает как постоянной, так и переменной, что определяется условиями контракта.

Пусть на период установлена процентная ставка (ис­пользуем обозначение , а не , так как последнее означает ставку за время , что может привести к путанице). Тогда при­ращение капитала за этот период равно величине . Если таких периодов (т.е. ), то наращенная сумма за время (считая, что все периоды и, следовательно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле

(2.9)

Обозначим , тогда (2.9) примет вид , т.е. на весь период длительностью можно установить процентную ставку , доставляющую такой же результат, как и данные переменные ставки, а для определения наращенной суммы можно воспользоваться формулой (2.1).

Если , т.е. на весь период соглашения установлена постоянная ставка, то , и мы, естественно, из (2.9) получаем первоначальную формулу (2.1) наращения по простым процентам.

Кстати, если , т.е. все периоды равны между собой, то

,

и опять получаем (2.1), заменяя все процентные ставки их сум­мой .

Конечно, формулой (2.9) можно пользоваться и в тех случа­ях, когда периоды выражены в различных единицах времени. Главное, чтобы размерность каждого периода была согласована с размерностью процентной ставки . Таким образом, если выражен в годах, то - годовая процентная ставка, если - в днях, то — процентная ставка за один день и т.п.

Пример:

Вкладчик поместил в банк 15 тыс. тенге на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 20% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 3%. Найти наращенную сумму за два года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада.

Поскольку , , (периоды начисления измеряем в годах), , , , то по формуле (2.9)

тыс. тенге

Такую же наращенную сумму можно получить, если простые проценты начисляются за два года по ставке

, или годовых.

Пусть опять на период установлена процентная ставка , но при изменении (или без изменения) ставки наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под новый простой процент. Такая финансовая операция называется реинвестиро­ванием (reinvestment) или капитализацией полученных на каж­дом этапе наращения средств.

Предположим для определенности, что период предшест­вует периоду , который предшествует периоду и т.д., что не принципиально, так как в противном случае можно надле­жащим образом периоды переобозначить. Тогда через время , наращенная сумма станет равной величине , после чего будет переоформлена на следующий срок (длитель­ностью ). Через время наращенная сумма станет равной величине

и т.д. Рассуждая аналогичным образом, получим формулу для нахождения наращенной суммы за время реинвестировании:

(2 10)

Очевидно, более строго формулу (2.10) можно доказать, ис­пользуя метод математической индукции. Заметим также, что множитель представляет собой, по существу, индекс роста суммы Р за время п. Естественно, этот множитель можно определить по формуле (1.6), т.е. как произведение ин­дексов роста за соответствующие периоды.

Если периоды начисления процентов равны друг другу и ставка процента не изменяется с течением времени (т.е. и ), то из (2.10) следует

(2.11)

Пример:

Найти наращенную сумму за два года, если в предыдущем примере с изменением ставки происходит одновременно и капитализация процентного дохода.

В тех же обозначениях из формулы (2.10) следует:

тыс. тенге

Получили большую наращенную сумму, чем в предыдущем примере, так как после каждого периода начисления осуществлялась операция реинвестирования.

Дата добавления: 2014-01-05