Дисконтирование по простым процентам

Тема 3. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

1. Дисконтирование по простым процентам.

2. Наращение по учетной ставке.

3. Факторный анализ учета векселя.

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы. Например, по заданной сумме F, которую предполагают получить (или уплатить) через время , требуется определить величину капитала Р, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через время при постоянной процентной ставке получить сумму F. Аналогичная задача (нахождение Р по F) возникает и в том случае, когда проценты удержива­ются непосредственно при выдаче ссуды (Р).

Как уже упоминалось, такое движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал F дисконтируется (или учитывается); вели­чина удержанных процентов часто называется дисконтом (discount). Заметим, кстати, что так же иногда называют и учет­ную ставку. Капитал Р, найденный с помощью процесса дис­контирования суммы F, в зависимости от контекста называется приведенной (современной, текущей, капитализированной) сто­имостью. Понятие приведенной стоимости является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций.

Рассмотрим вначале математическое дисконтирование, яв­ляющееся процессом, обратным наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается за­дача нахождения такой величины капитала Р, которая через лет при наращении по простым процентам по ставке будет равна F. Решая (2.1) относительно Р, получим:

(2.15)

Таким образом, величина Р является приведенной стоимо­стью величины F. Дисконт-фактор (дисконтный множитель) показывает долю капитала Р в F. Дисконтный множитель также называется коэффициентом дисконтирования и представляет собой величину, обратную множителю нараще­ния простых процентов в (2.1). В качестве ставки дисконтирова­ния используется процентная ставка . Разность между F и Р называется дисконтом:

(2.16)

В дореволюционной российской практике величину на­зывали также учетом или математическим учетом.

Формула (2.16) представляет собой вычисление процентов "на 100" величины F, следовательно, такими процентами по формуле (2.15) учитывается капитал F. Дисконт не пропорционален ни времени , ни ставке процента . При , из формулы (2.16) следует, что

Таким образом, если в качестве денежной единицы рассмат­ривать, например, рубль, то дисконтный множитель представля­ет собой разность между рублем и его процентами за один год "на 100".

Пример:

Из какого капитала можно получить 3,4 млн. тенге через три года наращением по простым процентам при ставке 12%?

Пользуясь формулой (2.15), где ; ; ;

полу­чим

млн. тенге

Очевидно, что млн. тенге

Пример:

Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. тенге. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с при­ближенным числом дней?

Используя формулу (2.15), получим:

тыс. тенге

В этом случае тыс. тенге

В приведенных двух примерах величина дисконта равна ве­личине начисленных процентов, т.е. дисконт определяется через процентную ставку. Однако дисконт, понимаемый как скидка с конечной суммы долга, может быть установлен сразу в виде некоторой суммы (вообще говоря, не связанной с процентной ставкой) на все время сделки.

Банковское дисконтирование, или банковский учет (bank discounting) применяется при операции по так называемому учету векселей банком или другим финансовым учреждением.

Согласно международному вексельному законодательству вексель (bill) является письменным безусловным обязательством или указанием векселедателя (заемщика) выплатить в установ­ленный срок определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе. Существуют различные виды век­селей: простые, переводные, коммерческие, казначейские и т.д.

Векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению. Рассмот­рим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец век­селя на сумму F (сумма к погашению) предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его. Такая покупка векселя у вла­дельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той сум­мы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама операция дискон­тирования векселя часто называется учетом векселя (bill discounting). Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величи­ной векселя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе сумма за вычетом определенных про­центов, удерживаемых банком в свою пользу и нередко назы­ваемых дисконтом. Дисконт (обозначаемый ) в этом случае представляет собой проценты, начисленные за время от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму (F), под­лежащую уплате в конце срока. Если объявленная банком став­ка дисконтирования равна (учетная ставка), то

(2.17)

и владелец векселя получит

(2.18)

где множитель называется дисконтным множителем или коэффици­ентом дисконтирования.

Из формулы (2.17) видно, что величина дисконта про­порциональна и времени, и ставке, а дисконтирование по фор­муле (2.18), часто называемое банковским (коммерческим) дис­контированием, осуществляется процентами "со 100".

Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360.

Пример:

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. тенге со сроком погашения 28.09.1997г. Вексель предъ­явлен 13.09.1997г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую векселедер­жатель получит от банка.

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (2.18) и при тыс. тенге, года, составит:

тыс. тенге

Разность между (номинальной величиной векселя) и (дисконтированной величиной векселя), равная , представля­ет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу; в данном примере тенге

По смыслу правая часть равенства (2.18) должна быть всегда неотрицательной. Следовательно, должно выполняться неравен­ство , что равносильно (так как ) неравенству . Таким образом, если при достаточно большой учетной ставке попытаться учесть вексель задолго до срока платежа, то можно вообще ничего не получить (при ). При сумма Р, которую должен получить при учете векселя его вла­делец, становится отрицательной, что лишено смысла. Напри­мер, если (учетная ставка в 50%), то должно быть , т.е. учитывать вексель можно не более чем за два года до срока платежа; если (ставка в 200%), то должно быть (учет не более чем за полгода до срока).

Заметим, что при математическом дисконтировании таких ситуаций не возникает: при любой ставке и любом сроке всегда . Так что учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем ставка .

Сравним между собой математическое и банковское дискон­тирование в случае, когда процентная и учетная ставки одина­ковы по величине . Обозначим

, .

Можно убедиться, что при справедливо неравенство и, следовательно, . Геометрически послед­нее неравенство можно показать таким образом (рис. 3):

	Рис. 3. Математическое и банковское дисконтирование

Нетрудно видеть, что геометрически представляет собой ветвь гиперболы, a - прямую линию, которая является ка­сательной к кривой при .

Время со дня дисконтирования до дня погашения векселя обычно выражается в днях. Обозначая это количество дней че­рез и используя дивизор , формулу (2.17) можно записать в виде

(2.19)

Если известна дисконтированная величина векселя, то дисконт можно определить путем вычисления процентов "во 100" по формуле (2.8).

Пример:

Банк 12.04.97г. учел два векселя со сроками погашения соот­ветственно 20.05.97г. и 11.06.97г. При этом в результате примене­ния учетной ставки 18% годовых банком были удержаны ко­миссионные в размере 885 тенге.

Найти номинальную стоимость второго векселя, если первый вексель предъявлен на сумму 15 тыс. тенге Используется способ 365/360.

Первый вексель учтен за 38 дней до срока погашения, второй - за 60 дней. Обозначая тыс. тенге, года, , по формуле (2.17) определим комиссионные, удержан­ные банком за согласие учесть первый вексель:

тыс. тенге, т.е. тенге

Таким образом, дисконт от учета второго векселя составит:

тенге

Из формулы (2.17) следует, что . Поэтому, обозначая тенге, года, , получим:

тенге

Следовательно, номинальная стоимость второго векселя рав­на 20 тыс. тенге

Возможна ситуация, когда вексель предусматривает начис­ление простых процентов на сумму по обязательству по про­центной ставке. В этом случае при учете векселя исходят из наращенной к сроку погашения векселя суммы.

Пример:

Вексель на сумму 10 тыс. тенге был выдан на 150 дней, при этом предусматривалось начисление на указанную сумму про­стых процентов по ставке 16% годовых способом ACT/ACT (в году 365 дней). За 80 дней до срока погашения вексель был уч­тен банком по учетной ставке 12% годовых способом 365/360. Определить дисконт, полученный банком.

Поскольку на 10 тыс. тенге будут начислены простые процен­ты за 150 дней, то вначале по формуле (2.3) находим сумму, которая должна быть выплачена предъявителю векселя при его погашении:

тыс. тенге

Следовательно, по формуле (2.17) дисконт, полученный бан­ком в качестве комиссионных, составит:

тыс. тенге

В принципе при учете денежных обязательств (и, в частно­сти, векселей) банк может использовать процентную ставку и математическое дисконтирование. В этом случае владелец де­нежного обязательства получит сумму, определяемую формулой (2.15), а комиссионные банка находятся по формуле (2.16).

Пример:

Вексель на сумму 15 тыс. тенге предъявлен в банк за 90 дней до срока его погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 22% годовых. Определить сумму, получен­ную предъявителем векселя, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ ACT/ACT.

Полагая , , , по формулам (2.15) и (2.16) находим:

тыс. тенге;

тыс. тенге

Если бы банк использовал простую учетную ставкугодовых и способ 365/360, то по формулам (2.17) и (2.18) можно получить:

тыс. тенге

тыс. тенге

Естественно, математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование — для банка.

Дата добавления: 2014-01-05