Отношения между множествами

Лекция № 2

Способы задания множеств

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать перечислив все его элементы (если множество А состоит из чисел 3, 4, 5, 6, 7, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными, при этом используют запись А={3,4,5,6,7}.

Однако, если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементом. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например, множество В двузначных чисел: характеристическое свойство – «быть двузначным числом» – это свойство даёт возможность решать вопрос о том, принадлежит какой – либо объект множеству В или нет.

Иногда одно и тоже множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов (множество квадратов можно задать, как множество прямоугольников с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямым углом).

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись множества. Например, множество С натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: С={ x ô x ÎN и х <7}.

Итак, для того, чтобы задать некоторое множество достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать их характеристическое свойство. Второй способ более общий – он позволяет задавать и конечные, и бесконечные множества.

Важно уметь переходить от одного способа задания множества к другому. Этому обучаются уже младшие школьники, выполняя такие упражнения.

Задача 1. Записать числа, которые больше 65 и меньше 75.

Решение. Множество чисел указано при помощи характеристического свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требуется перечислить элементы этого множества: {66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74}.

Задача 2. Укажите характеристическое свойство элементов множества А={12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}.

Решение. Характеристическое свойство: «быть двузначным числом и оканчивающимся цифрой 2».

В математике изучаются не только те или иные множества, но и взаимосвязи между ними (например, известно, что все натуральные числа являются целыми). Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежат одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Например, А = {a, b, c, d, e}; B = {b, d, k, m}; C = {x, y, z}. Множество А и В пересекаются, т.е. имеют общие элементы b и d, а множества А и С, а также В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.

Рассмотрим множество А = {a, b, c, d, e} и B = {c, d, e}. Эти множества пересекаются и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или множество В является подмножеством множества А и пишут ВÌА. Термин «подмножество» применяется в математике в смысле «часть множества».

Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является так же элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Из определения следует, что среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А, их называют несобственными. Все остальные подмножества будут собственными.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}.

Одноэлементные: {2}; {3}; {4}; двухэлементные: {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}, а также само множество А и пустое множество Æ. Получили 8 подмножеств данного множества.

Доказано, что если множество А содержит n элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Рассмотрим множество: А = {a, b, c, d, e} и B = {c, a, d, b, e}. Они пересекаются и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. АÌВ, и наоборот, т.е. ВÌА. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А=В.

Определение. Множества А и В называют равными, если АÌ В и ВÌ А.

Равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существенен.

Справедливо утверждение, что множества не равны, если хотя бы в одном множестве существует хотя бы один элемент, не принадлежащий другому множеству. Это утверждение часто используют при решении задач.

Задача 1. Равны ли множества: A = {a, b, c}, B = {a, { b, c}}?

Ответ: не равны.

Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел чётные», «Среди данных четырёхугольников найди прямоугольники».

Задание! Смоделируйте случаи пустого множества и самого множества (в смысле подмножеств множества А) на конкретных ситуациях, с которыми можно познакомить учащихся начальных классов.

В начальных классах можно предложить вопросы, касающиеся конкретных множеств предметов с целью выявления отношений между множествами окружающих нас предметов. Например, вопросы «Все ли березы – деревья?» и «Все ли деревья – березы?». Этими вопросами выявляется отношение включения между множествами берез и деревьев. Другой пример: «Все ли автомашины красные?”, «Все ли красные предметы – автомашины?», «Но имеются ли красные автомашины?». Этими вопросами выявляется отношение пересечения между множествами красных предметов и автомашин.

Дата добавления: 2014-01-06