Двух множеств

Выясним, как можно наглядно представить декартово произведение.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А={1,2,3} и В={3,5} можно представить так:

В А
	(1,3)	(1,5)
	(2,3)	(2,5)
	(3,3)	(3,5)

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А´В множеств А={1,2,3} и В={3,5} на координатной плоскости будет выглядеть так:

Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси 0х, а элементы множества В – на оси 0у. Такой способ наглядного представления декартово произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Задача. Изобразите на координатной плоскости декартово произведение А´В, если:

а) А={1,2,3}, В=[3,5],

б) А=[1,3], В=[3,5],

в)А=R, В=[3,5],

г) А=R, В=R.

Решение: а) Так как множество А состоит из 3-х элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая эти числа, то декартово произведение А´В состоит из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка [3;5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится 3-мя отрезками.

у

5

3

0 1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству А´В, может быть любое число из промежутка [1; 3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств, образуют квадрат.

у

5

3

0 1 3 х

в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А´В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу.

у

0 х

г) Декартово произведение R´R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R´R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

15. Понятие кортежа. Декартово произведение п множеств

В математике и других науках рассмат­ривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367 - это упорядоченный набор из трех элементов, а за­пись слова «математика» - это упорядоченный набор из 10 элементов.

Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа - это число элементов, из которых он состо­ит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) – это кортеж длины 10.

Рассматривают в математике и декартово произведение трех, че­тырех и вообще п множеств.

Определение. Декартовым произведением множеств А₁, А₂ ,..., А_п называется множество всех кортежей длины п, первая компонен­та которых принадлежит множеству A₁, вторая – множеству А₂ , ..., п-я –множеству А_п.

Декартово произведение множеств А₁, А₂ ,..., А_п обозначают так: А₁´А₂´…´А _п.

Задача. Даны множества: А₁ = {2, 3}, А₂ = {3, 4, 5}, А₃ = {6, 7}. Найти А₁´А₂´А₃.

Решение. Элементами множества А₁´А₂´А₃ будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А₁, вторая – множеству А₂, третья – множеству А₃.

А₁´А₂´А₃= {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2,4, 7), (2, 5, 6), (2, 5, 7),

(3, 3, 6), (3, 3, 7), (3, 4, 6), (3, 4, 7), (3, 5, 6), (3,5, 7)}.

Дата добавления: 2014-01-06