Нелинейных уравнений

Решение алгебраических и

Нелинейные уравнения вида F(х)=0 принято называть алгебраическими, если они содержат только алгебраические функции и трансцендентными, если они содержат другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т. д.).

Корнем уравнения f(х)=0, где f(х) - функция непрерывная и дифференцируемая на отрезке [а,b] и в граничных точках, называется всякое число c, принадлежащее отрезку [а,b], такое, что f(с)=0.

Процесс нахождения корней состоит из двух этапов: отделения корней и уточнения значения корней на отрезках отделения с заданной точностью.

Отделением корней называется процесс выделения из области определения функции f отрезков [а,b], в каждом из которых содержится один и только один корень уравнения f(х)=0.

Корни уравнения могут находиться на интервалах, определяемых переменой знака функции, между критическими точками. К критическим относятся точки, в которых производная от функции f(х) обращается в нуль, а также граничные точки (см. также раздел 3).

В электронной таблице отделение корней можно выполнить путем табулирования функции с некоторым, достаточно малым, шагом. Областями отделения корней будут значения аргументов, между которыми происходит смена знака функции.

Под уточнением значения корня с заданной точностью h понимают сужение границ отрезка [а,b] до длины, не превосходящей h. Уточнение значения корня на отрезке отделения осуществляется различными методами одномерной поисковой оптимизации: простых итераций, деления отрезка пополам, касательных, хорд, наискорейшего спуска и др.

Для уточнения значения корня в Excel могут применяться все названные методы. В настоящем пособии рассмотрены три метода:

- простое табулирование;

- метод простых итераций;

- метод Ньютона (метод касательных).

Метод простого табулирования не имеет ограничений, но малоэффективен, требует большого числа ручных операций. Условием окончания процедуры поиска является достижение функцией f(х) заданного значения: f(x_i)<е, - где е - заданные требования к точности поиска корня.

Метод простых итераций более эффективен. Он сходится, если f'(х)<0. Для его реализации необходимо функцию f(x)=0 преобразовать к рекуррентному виду

x_i+1=j(x_i ) (6.16)

Табулировать необходимо правую часть выражения (2.1). Для первой формулы в качестве аргумента используется начальное приближение Х_о (как правило, одна из границ отрезка отделения), для последующих формул - значение корня на предыдущем шаге, т. е. f(x_i). Начальное приближение выбирается произвольно. Условие окончания процедуры вычисления j(x_i+1)- j(x_i)<e.

Метод Ньютона самый эффективный метод. Он обеспечивает сходимость за минимальное число шагов. Однако этот метод накладывает серьезные ограничения на вид функции. Функция должна быть дважды дифференцируема. Для поиска корня в этом методе, также как и в методе простых итераций, составляется рекуррентная формула:

x_i+1=x_i - f(x_i)/f'(x_i). (6.17)

Табулировать необходимо правую часть выражения. Начальное приближение выбирается на одной из границ отрезка отделения корня. В качестве начального приближения x_о выбирается граница b, если f'(x)*f"(x)>0, и граница а, если f'(x)*f"(x)<0. Для первой формулы в качестве аргумента используется начальное приближение x_о, для последующих формул - значение корня на предыдущем шаге, т. е. f(x_i). Условием окончания процедуры уточнения корня является достижение функцией значения меньше заданного - f(x_i+1)<=e.

Приближенное значение производных можно вычислить численно с помощью формул (6.6), (6.7):

Значение Dх можно принять в интервале от 0.0001 до 0.00001

Все указанные методы могут быть реализованы с помощью функций пользователя, разработанных с помощью встроенного языка программирования Visual Basic for Application (VBA).

Пример 6.6. Пример отделения и уточнения корня

Пусть требуется найти корни уравнения y=2^x+2x-5 с точностью 0,001.

Загрузите электронную таблицу.

1. Отделите корни уравнения. Для этой цели протабулируйте функцию на значительном отрезке с большим шагом и зафиксируйте границы смены знака функции. После нескольких шагов получим отрезок отделения [1.28 – 1.285]. Выберите шаг 0,0005 и протабулируейте функцию вновь. Получен новый интервал где функция меняет свой знак [1,283; 1,2835] (Листинг 6.15). На границе отрезка при x=1.283 значение функции равно 0,000555. То есть функция меньше заданной точности. Эту точку и примем в качестве значения корня заданной функции. Результат: х=1.283, f(x)=0,000555

Листинг 6.15. Решение алгебраических и нелинейных уравнений
	А	B	C	D	E	F
	Решение нелинейных уравнений y=2^x+2x-5
	1. Простое табулирование	2. Метод итераций	3. Метод Ньютона
	Начальное значение		Нач. знач.	1,28	Нач. знач.	1,28
	Шаг табуляции	0,0005	Шаг таб.	нет	Шаг таб.	нет
	Точность	0,001	Точность	0,001	Точность	0,001
	Формула y=2^x+2x-5	y=2^x+2x-5	y=2^x+2x-5
		Рекуррентная формула x=(5-2^x)/2	x=x-(2^x+2x-5)/ (2* 2^x* LN(2)+2)
	Х	Функция f(x)	Функция j(xi)	Разность ABS(Xi+1 - xi)	Функция xi- f(xi)/f’(xi)
	1.28	-.011610	1,285805		1,282163	-0,00364
	1.2805	-.009768	1,28091	0,0048955	1,282841	-0,00114
	1.281	-.007926	1,285039	0,0041297	1,283053	-0,00036
	1.2815	-.006084	1,281557	0,0034828	1,28312	-0,00011
	1.282	-.004241	1,284494	0,0029379	1,283141	-3,5E-05
	1.2825	-.002399	1,282017	0,0024778
	1.283	-.000555	1,284107	0,0020901
	1.2835	.0012882	1,282344	0,0017628
	1.284	.0031320	1,283831	0,0014869
	1.2845	.0049761	1,282577	0,0012541
	1.285	.0068205	1,283635	0,0010578
			1,282742	0,0008922

2. Уточним значение корня на отрезке отделения [1.283; 1.2835] методом итераций:

- напишем рекуррентную формулу. В заданном выражении это обеспечивается просто путем переноса второго слагаемого в левую часть уравнения и делением на коэффициент при неизвестной:

x=(5-2^x)/2 (6.18)

- запишите в ячейку C11 формулу (6.18). В качестве х примите значение функции на левой границе отрезка отделения, то есть 1.28 (ячейка D4);

- запишите в ячейку С12 формулу (6.18), но в качестве х примите значение ячейки С11, то есть значение корня на предыдущем шаге;

- запишите в ячейку D12 формулу ABS(x_i-x_i+1);

- скопируйте формулы из ячеек C12, D12 в нижележащие ячейки, пока в колонке D не будет выполнено требование к разности двух смежных значений аргументов.

Результат: x=1.282742, f(x)= 0,001505.

3. Уточним значение корня на отрезке отделения [1.283; 1.2835] методом Ньютона:

- найдем первую производную для заданного выражения

f’(x)=(2* 2^x* LN(2)+2) (6.19)

x_i+1=x_i-(2^x_i+2x_i-5)/ (2* 2^x_i* LN(2)+2) (6.20)

- запишите в ячейку E11 формулу (6.20). В качестве х примите значение функции на левой границе отрезка отделения, то есть 1,28 (ячейка F4);

- запишите в ячейку E12 формулу (6.20), но в качестве х примите значение ячейки E11, то есть значение корня на предыдущем шаге;

- запишите в ячейку F11 формулу (f(x_i), со ссылкой на ячейку Е11;

- скопируйте формулы из ячеек Е12 и F11 в нижележащие ячейки, пока в колонке F не будет выполнено требование к точности значения функции.

Результат: x=1,283141; f(x)= -3,5E-05

Из приведенных примеров наглядно видно, что метод Ньютона (метод касательных) обеспечивает гораздо более быструю сходимость, чем метод простых итераций.

Дата добавления: 2014-01-06