Коэффициентами

Однородные линейные уравнения с постоянными

Рассматриваем уравнение (6.2), считая в нем коэффициенты . Это уравнение имеет ФСР , определенную и состоящую из степенных, показательных и тригонометрических функций. Соответствующее ей общее решение определено в области

ФСР ОЛДУ строится по методу Эйлера: частное решение ОЛДУ ищем в виде

, (6.10)

где - некоторое постоянное число (вещественное или комплексное), подлежащее определению. Для его определения составляют характеристическое уравнение

. (6.11)

Структура ФСР зависит от вида корней уравнения (6.11).

1. Все корни характеристического уравнения (6.11) различны и вещественны. ФСР в этом случае имеет вид и общее решение запишется по формуле (6.3): .

2. Все корни (6.11) различны, но среди них имеются комплексные. Пусть - комплексный корень; тогда - тоже корень (6.11). Этим двум корням соответствуют два линейно независимых частных решения . Если корни и чисто мнимые: , то соответствующие линейно-независимые решения: . Корням в формуле общего решения (6.3) соответствует выражение вида , а чисто мнимым корням отвечает сумма .

3. Среди корней характеристического уравнения (6.11) имеются кратные корни.

а).Пусть - вещественный k - кратный корень. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решений , а в формуле (6.3) – выражение вида .

б). Если есть комплексный корень (6.11) кратности k, то ему и сопряженному с ним корню той же кратности соответствуют 2 k линейно независимых частных решений вида

В формуле общего решения (6.3) этим корням соответствует выражение вида

.

Паре чисто мнимых корней кратности k отвечает сумма

.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение (6.11) имеет вид , откуда - действительные различные числа. Общее решение (см. п.1): .

Пример 2. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Уравнение (6.11): имеет корни . Корни действительные, причем один из них: - двукратный. Общее решение имеет вид (см. п.3,а)): .

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно (см. п.2), функции составляют ФСР, а общее решение имеет вид: .

Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень кратности k =3. ФСР имеет вид (п.3,а)): ; следовательно, - общее решение.

Для определения произвольных постоянных найдем производные:

.

Подставляя в и начальные данные, получим систему: , , , откуда находим . Искомое частное решение: .

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет корни - простой и - пара двукратных мнимых корней. Обще решение (см. п.3,б): .

Дата добавления: 2014-01-06