Пересечение двух линий

Задача о нахождении точек пересечения двух линий , заданных уравнениями , состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих каждому из этих уравнений.

Т.е. нужно решить систему уравнений

Если эта система не имеет решений, то линии не пересекаются.

Пример. Найти точки пересечения окружностей .

Решаем систему уравнений

Вычитая из первого уравнения второе, получим

Отсюда найдем, что . Мы получили две точки пересечения .

1.1.4.4. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве

Пусть нам заданы декартова прямоугольная система координат Oxyz и некоторая поверхность S.

Определение 1. Уравнение

называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки, не лежащей на поверхности S.

Пример. Уравнение сферы радиуса R>0 с центром в точке в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz имеет вид

.

Действительно, точка лежит на указанной сфере тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между точками

.

Определение 2. Линия в пространстве есть геометрическое место точек, лежащих одновременно на двух поверхностях.

Таким образом линия в пространстве рассматривается как линия пересечения двух поверхностей.

Если - уравнения двух поверхностей, пересечением которых является данная линия L, то два уравнения

совместно определяют линию L.

Как и в случае плоской линии (п.2) можно линию в пространстве представить параметрически, задав координаты x, y, z любой точки данной линии как непрерывные функции некоторого параметра t:

,

определенные в некотором промежутке изменения параметра .

Для отыскания точек пересечения поверхностей и линий следует решить совместно уравнения, определяющие указанные линии и поверхности.

Дата добавления: 2014-01-07