Расчет переходных процессов

Электромагнитные процессы в электрических цепях описываются дифференциальными уравнениями, составленными согласно первому и второму законам Кирхгофа с использованием уравнений элементов. Порядок дифференциального уравнения определяется тем, сколько в цепи имеется накопителей электрической и магнитной энергии. Если требуется найти ток i_k в к -й ветви, то исключая последовательно все токи остальных ветвей, можно получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только ток i_k и его производные

(6.5)

Здесь - постоянные коэффициенты, значение которых зависит от конфигурации цепи. Правая часть f (t) содержит в себе заданные ЭДС.

Полный интеграл дифференциального уравнения с правой частью равен сумме частного решения этого уравнения и решения того же уравнения без правой части (однородного) [1].

Частное решение уравнения (6.5) дает нам значение тока при t = ¥, т. е. при установившемся режиме, наступившем после коммутации. Характер и величина этой составляющей определяются внешними источниками. Поэтому ее часто называют принужденной составляющей и обозначают как i_{пр .} Например, если источники постоянны, то и принужденный ток i_пр = const. Если же ЭДС заданы в виде синусоидальных функций, то i_пр также будет синусоидальной функцией. Определение i_пр является задачей расчета установившегося режима в цепи, способы и методы которого рассматривались в предыдущих разделах дисциплины.

Общее решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет запаса энергии в индуктивностях и емкостях, который был в начальный момент времени.

Так как в реальных цепях всегда имеет место рассеяние энергии (преобразование в тепло), то запас энергии будет со временем исчерпан и электромагнитные процессы в цепи прекратятся.

Из этого следует, что общее решение однородного уравнения должно стремиться к нулю при t ® ¥. Эта составляющая не зависит от внешних источников и поэтому ее часто называют свободной составляющей и обозначают как i_{св .}

Общее решение однородного дифференциального уравнения n -го порядка, как известно из курса математики в случае простых корней, имеет вид:

i_св = ,

где t – время; A_k – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий; – корень характеристического уравнения

a_n ⁿ + a _n-1 ^n-1 + … + a ₁ + a ₀ = 0. (6.6)

Рассмотренный метод расчета переходных процессов называется классическим. Обратим внимание, что при составлении дифференциальных уравнений в качестве неизвестных необходимо принимать ток i_L в индуктивности и напряжение u_C на емкости. При таком выборе неизвестных достаточно легко на основании начальных условий и законов коммутации определить постоянные интегрирования.

Дата добавления: 2014-01-07