С одним накопителем энергии - индуктивностью

Расчет переходных процессов в цепях

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом магнитной энергии в индуктивности и ее рассеиванием в виде тепла на активных сопротивлениях. Отметим, что цепи, содержащие всего один участок с накопителем магнитной энергии (L), описываются дифференциальным уравнением первого порядка, т.е. такие уравнения содержат только одну производную .

При расчете установившегося режима в случае постоянных внешних ЭДС необходимо помнить, что сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Ниже рассмотрим пример. Расчет его выполнен по алгоритму, который рекомендуется к применению для других подобных задач.

Пример 6.1. Включение последовательной цепи R, L на постоянное напряжение

Последовательная цепь R, L (рис. 6.2, а) R =100 Ом и L =2 Гн подключается к постоянному напряжению U =100 В. Требуется определить ток и напряжение на индуктивности в переходном процессе и построить графики зависимостей i_L (t), u _L (t).

Решение.

1. Определяем начальное условие: , так как цепь до коммутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.2, б) и на ней указываем направления токов и напряжений.

3. Для схемы (рис. 6.2, б) составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

. (6.7)

а б i L

L u_L

U R U R u_R

Рис. 6.2

Подставляя уравнения элементов в уравнение (6.7) и учитывая,

что для последовательной цепи , получим:

(6.8)

Уравнение (6.8) – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

4. Решение уравнения (искомый ток переходного процесса) ищем в виде

(6.9) 5. Определяем i_пр, который представляет собой установившийся постоянный ток в цепи. Находим его по закону Ома, учитывая при этом, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю:

А.

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение

решением которого будет функция

7. Составляем характеристическое уравнение для определения

корень, которого равен

Величина называется постоянной времени цепи и имеет размерность времени.

8. Запишем решение (ток в переходном процессе)

(6.10)

9. Согласно первому закону коммутации и начальным условиям

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки в уравнение (6.10) t = 0 и, учитывая условие п. 9, получим

; ; A = –1.

Ток в переходном процессе

А. (6.11)

11. Напряжение на индуктивности можно определить по уравнению

В.

Постоянную времени t можно определить графически. Для этого к любой точке функции проводят касательную, тогда длина подкасательной на оси времени даст в том же масштабе, что и время, постоянную времени t. За длительность переходного процесса принимают время, равное . За это время величина тока в переходном процессе будет отличаться от установившегося значения тока менее чем на 1 %.

Дата добавления: 2014-01-07