Метод переменных состояния

А б в

Накопителем энергии - емкостью

Расчет переходных процессов в цепях с одним

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение u_C на емкости. Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т. е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Пример 6.2. Включение последовательной цепи R,C на постоянное напряжение.

Цепь (рис. 6.3, а), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U= 60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики u_C (t), i (t).

R i R i, A u, B

0.06

U C U C t = 0.02,c

i

0 t 2t 3t t, с

Рис. 6.3

Решение. 1. Определяем начальные условия. Начальное условие u_C (-0) = 0, так как цепь до коммутации была отключена (полагаем достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.3, б), указываем направления тока и напряжений и для нее составляем уравнение по второму закону Кирхгофа

или .

3. Преобразуем уравнение п.2 в дифференциальное. Для этого, подставив вместо тока i известное уравнение , получим:

4. Решение уравнения (искомое напряжение на емкости) ищем в виде:

.

5. Определяем . Так как в цепи постоянного тока в установившемся режиме сопротивление емкости равно бесконечности (при этом ), то все напряжение будет приложено к емкости. Поэтому

u_Cпр=U= 60 В.

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение

решением которого будет функция

7. Составляем характеристическое уравнение RC l + 1= 0, корень которого равен

Постоянная времени

8. Запишем решение .

9. Согласно второму закону коммутации и начальным условиям

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки t =0 в уравнение п.8

Напряжение на емкости в переходном процессе

В.

11. Ток в цепи можно определить по уравнению

или по уравнению п. 2

Графики u_C (t) и i (t) представлены на рис. 6.3, в.

Мгновенные значения токов и напряжения, определяющие энергетическое состояние электрической цепи, называются в данном методе переменными, а сам метод назван методом переменных состояния.

Этот метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений и, как правило, численном их решении с помощью ЭВМ.

В качестве неизвестных здесь следует принимать переменные, которые не имеют разрывов, т.е. за время не должно быть скачкообразного изменения этих величин. Такими переменными, следовательно, должны быть ток i и потокосцепление в индуктивности, напряжение и заряд на емкости. В противном случае при численном решении производных в точках, где имеется разрыв, возникает бесконечно большая величина, что недопустимо.

Существуют различные численные методы расчета дифференциальных уравнений. Это методы Эйлера, Рунге-Кутта и другие, которые отличаются друг от друга точностью расчета, объемом и временем вычислений. При этом, чем больше точность вычислений, тем больше требуется времени для решения.

Расчет методом переменных состояния рекомендуется вести в следующей последовательности:

1. Определить начальные условия.

2. Составить систему дифференциальных уравнений.

3. Все переменные в уравнениях п.2 выразить через токи или потокосцепления в индуктивностях и напряжения или заряды на емкостях.

4. Все уравнения п.3 свести к нормальной форме Коши.

Дата добавления: 2014-01-07