Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Понятие о критериях согласия

Одной из важных задач математической статистики является установление теоретического закона распределения случайной величины, характеризующей изучаемый признак по эмпирическому распределению, представляющему вариационный ряд.

Для решения этой задачи необходимо определить вид и параметры закона распределения.

Предположение о виде закона распределения может быть выдвинуто исходя из теоретических предпосылок (например, выполнение условий центральной предельной теоремы может свидетельствовать о возможности нормального закона распределения случайной величины), опыта аналогичных исследований и, наконец, на основании графического изображения эмпирического распределения.

Параметры распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют "наилучшими" оценками по выборке.

Как бы хорошо не был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим распределением неизбежны расхождения. Естественно возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными причинами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что теоретический закон распределения подобран неудачно? Для ответа на поставленный и аналогичные вопросы в математической статистике разработаны методы проверки статистических гипотез.

Определение 1. Статистические критерии, служащие для проверки гипотез о виде закона распределения, называются критериями согласия.

Если необходимо проверить нулевую гипотезу H ₀ о том, что исследуемая случайная величина Х подчиняется некоторому закону распределения, то выбирают некоторую случайную величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределений, закон распределения которой при достаточно больших п известен и практически не зависит от закона распределения случайной величины X.

Зная закон распределения U, можно найти вероятность того, что U приняла значение не меньше, чем фактически наблюдаемое в опыте и. Если вероятность этого a мала, то это означает в соответствии с принципом практической уверенности, что такие, как в опыте u, и большие отклонения практически невозможны. В этом случае гипотезу H ₀ отвергают. Если же вероятность P (U ³ u)=a не мала, т. е. расхождение между эмпирическим и теоретическим распределением несущественно, то гипотезу H ₀ можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противоречащей опытным данным.

3. Критерий согласия c² Пирсона и схема его применения

В наиболее часто используемом на практике критерии c ² Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина c² ("хи-квадрат"):

,

(*)

где n_i, – эмпирические (опытные) частоты случайной величины X;

np_i – теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений п на вероятности p_i, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.

Доказано, что выборочная характеристика или, как ее еще называют, статистика c² (*) при п ®¥ имеет c²–распределение с k=m-s- 1 степенями свободы,

где:

т – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда);

s – число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (например, в случае нормального закона распределения число оцениваемых по выборке параметров s =2).

Схема применения критерия c² сводится к следующему:

1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот c² по (*).

2. Для выбранного уровня значимости a по таблице c²–распределения ([2], прил. III, с. 108) находят критическое значение c²_a,k при числе степеней свободы k=m-s- 1.

3. Если фактически наблюдаемое значение c² больше критического, т. е. c²>c²_a,k, гипотеза H ₀ отвергается; если c²£c²_a,k гипотеза H ₀ не противоречит опытным данным.

Замечание 1. Если в таблице c²–распределения приводятся вероятности P (c²>c²_a,k) ([1], прил. IV, с. 315), то гипотеза Н ₀ отвергается, если вероятность P (c²>c²_a,k) меньше выбранного уровня значимости, и принимается в противном случае.

Замечание 2. Критерий c² Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом интервале было достаточное число наблюдений n_i; если в каком-нибудь интервале число наблюдений меньше 5, имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах n_i было не меньше 5. При этом при вычислении числа степеней свободы k в качестве т берется соответственно уменьшенное число интервалов.

Для определения статистики c² удобно составить таблицу:

№ i	Интервал [ хi; xi +1]	Эмпирические частоты, ni	Вероятности, pi	Теоретические частоты, npi	(ni-npi)^2
¼
m
	S

Дата добавления: 2014-01-07