Пример 4.2.3

1. m Z = { mq | q Î Z } – двусторонний идеал кольца целых чисел (Z, +, ×) для всякого целого числа m. Отметим, что для " m Î Z – m Z = m Z. Очевидно, что m Z ¹ Z, если | m | ¹ 1. Можно, например, построить следующие бесконечные цепочки двусторонних идеалов кольца Z: Z 2 Z 4 Z 8 Z 16 Z …, Z 2 Z 6 Z 18 Z ..., n Î Z _³0.

2. В кольце (Z / n Z, +, ×) c составным n = p × q, где 1 < p, q < n, подмножество классов вычетов замкнуто относительно операций вычитания и умножения классов вычетов и, следовательно, образует подкольцо. Легко видеть, что – двусторонний идеал. Аналогично, двусторонним идеалом того же кольца является множество .

3. В матричном кольце M ₂(C) (пункт 4 примера 4.2.1) подкольца J ₁ и J ₂ – правые, но не левые идеалы, а J ₃ и J ₄ – левые, но не правые идеалы. ·

Определение 4.2.5. Для каждого элемента a кольца (K, +, ×) множество aK = { a × k | k Î K } есть левый идеал кольца K, называемый главным левым идеалом, порожденным элементом a. Аналогично определяется главный правый идеал, порожденный элементом а, Ka. Двусторонний главный идеал, порожденный элементом а, является одновременно левым и правым, то есть aK = Ka, он обозначается < a >.

Определение 4.2.6. Кольцо, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

В собственных идеалах не может быть обратимых элементов колец, так как иначе 1 Î J, тогда J = K, что приводит к противоречию. Поскольку в поле все элементы, кроме 0, обратимы, то в поле нет собственных идеалов. С другой стороны, необратимые элементы кольца, в том числе и делители нуля, порождают главные собственные идеалы. Отсюда, в частности, также следует, что в поле нет делителей нуля.

Теорема 4.2.1. (Z, +, ×) – кольцо главных идеалов.

В (Z, +, ×), как в коммутативном кольце, все идеалы являются двусторонними.

1. J = {0} – главный идеал. Действительно, {0} = < 0 > = {0 × k | k Î Z }.

2. Пусть теперь идеал J ¹ {0}. Докажем, что если t – наименьшее натуральное число из J, то < t > = J.

Так как t Î J, то < t > = { k × t | k Î Z } Í J. Пусть m Î J, согласно теореме 1.1.1 справедливо представление m = q × t + r, где q, r Î Z, 0 £ r < t. Тогда m – q × t = r, и если r 0, то в J содержится натуральное число r, меньшее t, что невозможно. Итак, m = q × t, таким образом, m Î < t >, следовательно, J Í < t >. Поэтому, J = < t >.

Замечание. Согласно теореме 4.2.1 все идеалы J кольца (Z, +, ×) имеют вид < t >, где t = 0 или t – наименьшее натуральное число из J. Поскольку < t > = t Z = – t Z = < – t >, как уже отмечалось в пункте 1 примера 4.2.3, в дальнейшем можно ограничиться рассмотрением идеалов кольца (Z, +, ×) вида < t >, где t Î Z _³0.

Определение 4.2.7. Собственный идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом собственном идеале данного кольца.

Рассмотрим вопрос о максимальности идеалов в кольце (Z, +, ×), которое согласно теореме 4.2.1 является кольцом главных идеалов. Очевидно, что идеал < m > является собственным в (Z, +, ×) Û m > 1.

Теорема 4.2.2. Идеал < m > максимален в (Z, +, ×) тогда и только тогда, когда m – простое число.

Необходимость. Пусть < m > – максимальный идеал в (Z, +, ×). Если m – составное число, то m = n × q, где 1 < n, q < m, и m Î < n >, но n Ï < m >, поскольку m n. Следовательно, < m > Ì < n > ¹ Z, что противоречит максимальности идеала < m >. Поэтому, m – простое число.

Достаточность. Пусть m – простое число. Рассмотрим идеал < m > в (Z, +, ×). Если < m > – не максимальный идеал, то $ n Î N _>1 такое, что < m > Ì < n > ¹ Z. Тогда m = n × q для некоторого q Î N _>1, что противоречит тому, что число m простое. Значит, < m > – максимальный идеал в (Z, +, ×).

Дата добавления: 2014-01-07