Применение численных и аналитических моделей расчета процесса

Лекция 9

В общем виде нестационарный процесс нагрева в линейной постановке для бесконечного цилиндра описывается уравнением в частных производных

(1)

с граничными условиями, например 2-го рода

(2)

и начальными условиями

(3)

Здесь - коэффициент удельной теплопроводности; - удельная плотность материала; - коэффициент температуропроводности , - коэффициент удельной теплоемкости, w – функция источников тепла, q – плотность потока тепловых потерь.

Распределение источников тепла обычно задается в виде простой функции для удобства последующего интегрирования, хотя принципиальных ограничений на вид этой функции нет.

С помощью метода интегральных преобразований возможно аналитическое решение системы, то есть получение явного выражения для состояния в любой точке в любой момент времени.

(4)

где

- изображение функции источников, полученное с помощью преобразования Ханкеля.

В представленном решении собственные числа определяются из характеристического уравнения, составляемого на основании граничных условий подстановкой в них собственных функций .

Проанализируем выражение для определения температуры. В решении содержатся компоненты, соответствующие внутренним источникам тепла, тепловым потерям и начальному состоянию. В первой строке выражения (4) записаны компоненты, формирующие среднее значение температуры по всему объему нагреваемого тела. В последующих строках записаны уточняющие выражения, обеспечивающие создание кривой распределения температуры по координате (r), отражая вклады начального распределения температуры , тепловых потоков и мощности .

Постановка задачи подразумевает, что указанные компоненты заранее обусловлены, то есть, выражены в виде определенных функций как во времени, так и в пространстве. Это приводит к тому, что временная зависимость температуры каждой точки может быть построена путем расчета для нескольких конечных моментов времени из неизменных начальных условий при неизменных значениях потоков тепла и мощности источников.

Более сложная ситуация, возникающая при использовании такой модели при разработке программного (многоинтервального) управления требует более громоздкого алгоритма.

Использование выражения (4) требует на каждом интервале пересчета начального распределения температуры, задания нового значения мощности (максимум или ноль), пересчета тепловых потоков (не всегда).

Рис.1. Алгоритм расчета температурного поля при программном управлении

на базе аналитической модели.

По результатам расчета рисуются кривые температур для разных точек.

Кривые температур построены для точек, находящихся на разном расстоянии от поверхностного слоя, в котором выделяется мощность. Кривые, находящиеся ниже, соответствуют более заглубленным слоям. В конце каждого интервала формируется распределение температур, которое необходимо использовать в качестве начального для следующего временного интервала.

Дата добавления: 2014-01-07