Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Предельные точки последовательности

Определение 1.Точка x бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности {xn}, если в любой e - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности {xn}.

Лемма 1.Если x- предельная точка последовательности {xk}, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность {xnk}, сходящуюся к числу x.

Замечание.Справедливо и обратное утверждение. Если из последовательности {xk} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу x, то число x является предельной точкой последовательности {xk}. Действительно, в любой e - окрестности точки x имеется бесконечно много элементов подпоследовательности, а стало быть и самой последовательности {xk}.

Из леммы 1 следует, что можно дать другое определение предельной точки последовательности, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Точка x бесконечно прямой называется предельной точкой последовательности {xk}, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к x.

Лемма 2.Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Замечание.Если последовательность сходится, то она в силу леммы 2 имеет только одну предельную точку. Однако, если {xn} не является сходящейся, то она может иметь несколько предельных точек (и, вообще бесконечно много предельных точек). Покажем, например, что {1+(-1)n} имеет две предельные точки.

Действительно, {1+(-1)n}=0,2,0,2,0,2,... имеет две предельные точки 0 и 2, т.к. подпоследовательности {0}=0,0,0,... и {2}=2,2,2,... этой последовательности имеют пределами соответственно числа 0 и 2. Других предельных точек у этой последовательности нет. Действительно, пусть x -любая точка числовой оси, отличная от точек 0 и 2. Возьмем e >0 настолько

малым, чтобы e - окрестности точек 0, x и 2 не пересекались. В e- окрестностях точек 0 и 2 содержатся все элементы последовательности и поэтому e - окрестность точки x не может содержать бесконечно много элементов {1+(-1)n} и поэтому не является предельной точкой этой последовательности.

Теорема.У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Замечание. Ни одно число x , превосходящее , не является предельной точкой последовательности {xn}, т.е. - наибольшая предельная точка последовательности {xn}.

Пусть x- любое число, превосходящее . Выберем e>0 настолько малым,

что x-e>.

Так как

и x1 Î{x}, правее x1 лежит конечное число элементов последовательности {xn} или их вовсе нет, т.е. x не является предельной точкой последовательности {xn}.



Определение.Наибольшая предельная точка последовательности {xn} называется верхним пределом последовательности и обозначается символом . Из замечания следует, что у всякой ограниченной последовательности есть верхний предел.

Аналогично вводится понятие нижнего предела (как наименьшей предельной точки последовательности {xn}).

Итак, мы доказали следующее утверждение. У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема.Для того, чтобы последовательность {xn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы совпадали.

Результаты этого пункта приводят к следующей основной теореме Больцано-Вейерштрасса.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как последовательность {xn} ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке x (следует из определения 2 предельной точки).

Замечание.Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную сходящуюся последовательность.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Предельные точки последовательности

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 699; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.166.146.212
Генерация страницы за: 0.092 сек.