Неравенство Чебышева

Предварительные замечания

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

X	x 1	x 2	…	xn
р	р 1	р 2	…	pn

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e. Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П.Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем 1 – D (X)/ e²:

.

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств и , противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т.е.

.

Отсюда интересующая нас вероятность

. (8.1)

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности . Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

.

Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

.

Заметим, что обе части неравенства (j = k + 1, k + 2,..., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство . Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей числом e² (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

. (8.2)

По теореме сложения, сумма вероятностей есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x_{k +1}, x_{k +2},..., х_n, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству . Отсюда следует, что сумма выражает вероятность

.

Это соображение позволяет переписать неравенство (8.2) так:

,

или

. (8.3)

Подставляя (8.3) в (8.1), окончательно получим

.

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D (X)>e² и, следовательно, D (Х)/ e²>1, то 1 – D (Х)/ e² < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом. Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.

Дата добавления: 2014-01-20