Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если X ₁, Х ₂,..., Х_n,… – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число e, вероятность неравенства

.

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

.

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

. (8.3)

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

,

или, учитывая соотношение (8.3),

. (8.4)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

.

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства: D (X ₁) £ C; D (X ₂) £ C; …; D (X_n) £ C, поэтому

.

Итак,

. (8.5)

Подставляя правую часть (8.5) в неравенство (8.4) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

.

Отсюда, переходя к пределу при n ®¥, получим

.

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

.

Теорема доказана.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Можно сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Теорема Чебышева (частный случай). Если X ₁, Х ₂,..., Х_n,… – попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > 0, вероятность неравенства

.

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

.

Дата добавления: 2014-01-20