Тема. Екстремуми функції (максимальні та мінімальні значення функції). Дослідження функції на екстремуми

Тема. Монотонність функції, ознаки сталості, зростання і спадання функції

План

1. Монотонність функції.
2. Необхідна і достатня умова сталості функції.

1. Монотонність функції

Достатня умова зростання функції

Достатня умова спадання функції

 

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) , то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

2. Необхідна і достатня умова сталості функції

 

Функція f(x) є сталою на інтервалі (a;b) тоді і тільки тоді, коли в усіх точках цього інтервалу.

План

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції.
2. Критичні точки.
3. Необхідна і достатня умови екстремуму
4. Дослідження функції на екстремуми.

1. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

Точки максимуму

Точки мінімуму

 

Точка х₀ з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х₀ -; х₀ + ) точки х₀, такий, що для всіх хх₀ з цього околу виконується нерівність     - точка максимуму    

 

Точка х₀ з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться - окіл (х₀ -; х₀ + ) точки х₀, такий, що для всіх хх₀ з цього околу виконується нерівність     - точка мінімуму    

Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму

Значення функції в точках максимум і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції

- максимум

- мінімум

2. Критичні точки

Означення

Приклад

Критичними точками функції називаються внутрішні точки її області визначення, у яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

f(x) = х³ – 12х f´(x) = 3х² – 12х існує на всій області визначення f´(x) = 0 при 3х² – 12х = 0, х² = 4, 2 – критичні точки

3. Необхідна і достатня умови екстремуму

Необхідна умова екстремуму

Достатня умова екстремуму

  У точках екстремуму похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує    

(але не в кожній точці х₀, де f´(x) = 0 або f ´(x₀) не існує, буде екстремум)

  Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і похідна f´(x) змінює знак при переході через точку х₀, то х₀ - точка екстремуму функції f(x)

4. Дослідження функції на екстремуми

Приклад графіка функції у = f(х), що має екстремуми (х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ - критичні точки)

  Знаком «» позначено зростання функції, а знаком «»- спадання функції.  

Приклад
Схема	Приклад у = f(х) = 3х^5 – 5х^3 + 1
1. Знайти область визначення функції.	Область визначення:
2. Знайти похідну f ´(х).	f ´(х) =15 х^4 – 15х^2 = 15х^2(х^2 - 1) = = 15х^2(х - 1) (х + 1)
3. Знайти критичні точки, тобто внутрішні точки області визначення, у яких f ´(х) дорівнює нулю або не існує	f ´(х) існує на всій області визначення. f ´(х) = 0 при х = 0, х = 1, х = - 1.
4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.
5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою максимуму або мінімуму, чи вона не є точкою екстремуму.
6. Записати результат дослідження (проміжки монотонності і екстремуми).	f(х) зростає на кожному з проміжків: і ; f(х) спадає на . Точки екстремуму: хmax = - 1; хmin = 1 Екстремуми: уmax = f (-1) = 3; уmin = f (1) = -1.

Дата добавления: 2014-10-15