Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

Известно, что если по какому-либо проводнику сопротивлением R протекает постоянный ток, то в единицу времени (в секундах) в нем выделяется энергия

.

Определим энергию, выделяющуюся в единице времени в единицу объема проводящей среды:

.

Данное уравнение есть дифференциальная форма закона Джоуля – Ленца.

Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Так же как и в электростатическом поле напряжённость электрического поля в проводящей среде .

В постоянном поле

.

Если среды не изменяется от точки к точке, т.е. если среда однородна и изотропна, то как постоянную величину можно вынести за знак дивергенции и, следовательно, вместо можно записать

,

то есть

или

.

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнения Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде является полем потенциальным.

Граничные условия на поверхности раздела проводящих тел. Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью.

Рис. 8

Возьмём на границе плоский замкнутый контур abcd.

Составим циркуляцию этого контура. Стороны ab и cd его весьма малы по сравнению со сторонами bc и ad (длину последних обозначим dl).

Т.к. вдоль любого замкнутого контура равно нулю, то оно равно нулю и для контура abcd.

Пренебрежем составляющими интеграла вдоль путей ab и cd и тогда

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов. Докажем это.

Поток вектора , втекающий в объём через верхнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объёма через верхнюю грань, . Так как , то

.

Следовательно, при переходе из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывны тангенциальная составляющая вектора и нормальная составляющая плотности тока .

Отсюда следует, что полные значения векторов и в общем случае меняются скачком на границе раздела.

Связь между углом падения и углом преломления :

.

Если ток переходит из среды с большой проводимостью в среду с малой проводимостью, то тангенс угла преломления меньше тангенса угла преломления и, следовательно, угол будет меньше угла . Если весьма мало, то угол .

Лекция 4.

Дата добавления: 2014-10-22