Режимы движения жидкости

Уравнение неразрывности (сплошности потока) для газов

Уравнение неразрывности (сплошности потока) для жидкости

Уравнение неразрывности (сплошности потока)

При рассмотрении движения жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполняет занимаемое ею пространство без образования пустот, т.е. движение жидкости происходит неразрывно. В этом случае справедливо уравнение неразрывности. Дифференциальное уравнение неразрывности – это закон сохранения массы, записанный для элементарного объема жидкости.

Пусть имеем элементарную струйку (рис. 16 а). Возьмем сечение 1-1 с площадью искоростью движения частиц жидкости и₁. Элементарный расход через сечение 1-1 равен:

,

Затем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью u₂. Элементарный расход через сечение 2-2 равен:

,

Но по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен, кроме того, в отсеке 1-2, который сохраняет неизменные размеры, не образуется пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей в единицу времени через сечения 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е.

,

Принимая во внимание, что сечения 1-1 и 2-2 приняты произвольно, можно в общем случае для элементарной струйки написать:

,

Или

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для элементарной струйки, которое читается так: элементарный расход жидкости при установившемся движении есть величина постоянная для всей элементарной струйки.

Пусть имеем поток жидкости (рис. 17 б). Взяв в потоке два произвольных сечения 1-1 и 2-2 и представив живые сечения их состоящими из суммы элементарных струек, можно написать:

–расход жидкости в сечении 1-1;

– расход жидкости в сечении 2-2.

	Q1=Q2=const
а	б
а – элементарная струйка жидкости, б – поток жидкости
Рисунок 17 – К уравнению неразрывности или сплошности потока

Но поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечениями 1-1 и 2-2 через боковую поверхность движения жидкости не происходит; не изменяется и объем отсека. Следовательно, в отсек через сечение 1-1 поступает столько же жидкости, сколько за то же время выходит, таким образом. Но так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно написать, что или, выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость получим:

Это и есть уравнение неразрывности (сплошности) для потока жидкости которое читается так: объемный расход жидкости через любое сечение потока при установившемся движении есть величина постоянная.

Из последнего уравнения для двух сечений можно написать:

,

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений [2-4].

При рассмотрении движения газов секундный массовый расход газа М₁ (сечение 1-1):

где ρ₁ – плотность газа, кг/м³,

- секундный объемный расход газа.

В соответствии с условием неразрывности (сплошности) потока через сечение II-II за одну секунду выйдет масса газа:

,

равная массе газа М₁ вошедшей в сечение потока I-I. Таким образом, секундный массовый расход газа через любое сечение есть величина постоянная.

,

Это выражение называется уравнением неразрывности или уравнением постоянства расхода для газа [3,4].

Различные режимы течения жидкости можно проследить, вводя в поток подкрашенную струйку жидкости.

Впервые режимы течения жидкости изучались Рейнольдсом в 1883 г (рисунок 18).

	а   б
а	б
а –ламинарный, б -турбулентный режим движения   Рисунок 18 – Опыт Рейнольдса

К сосуду А, в котором поддерживается постоянный уровень воды Н, присоединена горизонтальная стеклянная труба В. В эту трубу по ее оси через капиллярную трубку вводится тонкая струйка окрашенной воды. При небольшой скорости воды в трубе окрашенная струйка вытягивается в горизонтальную нить, которая, не размываясь, достигает конца трубы (рисунок 18 а), это свидетельствует о том, что пути частиц прямолинейны и параллельны друг другу.

Такое движение, при котором все частицы жидкости движутся по параллельным траекториям, называют струйчатым или ламинарным.

Если скорость воды в трубе увеличивать сверх определенного предела, то окрашенная струйка сначала приобретает волнообразное движение, а затем начинает размываться, смешиваясь с основной массой воды. Это объясняется тем, что отдельные частицы жидкости движутся уже не параллельно друг другу и оси трубы, а перемешиваются в поперечном направлении (рисунок 19 б).

Такое неупорядочное движение, при котором отдельные частицы жидкости движутся по запутанным, хаотическим траекториям, в то время как вся масса жидкости в целом перемещается в одном направлении, называют турбулентным.

	а   б
Рисунок 19 – Схематичное изображение ламинарного (a) и турбулентного (б) течения в плоском слое

В турбулентном потоке происходят пульсации скоростей, под действием которых частицы жидкости, движущиеся в главном (осевом) направлении, получают также поперечные перемещения, приводящие к интенсивному перемешиванию потока по сечению и требующие соответственно большей затраты энергии на движение жидкости, чем при ламинарном потоке.

Опыт показывает, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит тем легче, чем больше плотность жидкости ρ, скорость движения жидкости v и диаметр трубы d, и чем меньше вязкость жидкости μ. Рейнольдс установил, что указанные величины можно объединить в безразмерный комплекс, значение которого позволяет судить о режиме движения жидкости. Этот комплекс носит название критерия (числа) Рейнольдса:

,

Физический смысл критерия Рейнольдса заключается в том, что он является мерой соотношения между силами инерции и вязкости в движущемся потоке.

С учетом того, что кинематический коэффициент вязкости, то критерий Рейнольдса можно записать:

,

Переход от ламинарного режима движения к турбулентному характеризуется критическим значением критерия Рейнольдса Re_кр1. При движении жидкости по прямым гладким трубам для изотермического потока критическое значение критерия Рейнольдса составляет. При течение является ламинарным и данную область значений называют областью устойчивого ламинарного режима течения. При значении критерия Рейнольдса режим течения еще неустойчиво турбулентный и эту область называют переходной. Лишь при турбулентное движение становиться устойчивым (развитым).

Критические значения числа Рейнольдса зависят от вида течения. Так наличие различных возмущений, обусловленных шероховатостью стенок трубы, изменением скорости движения жидкости или ее направления существенно влияет на критические значения числа Рейнольдса.

Скорость, при которой для данной жидкости и определенного диаметра трубопровода происходит смена режимов движения, называется критической.

При ламинарном режиме движения скорость имеет максимальное значение на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастают плавно согласно уравнению:

,

где u_max – максимальная скорость движения жидкости, м/с;

R – радиус трубы, м;

r - радиус движущегося слоя жидкости, м

Последнее уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболитическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении (рис.19 а).

При ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы:

.

При турбулентном режиме движения жидкости в трубах эпюра распределения скоростей имеет вид, показанный на рисунке 20 б.

а б

Рисунок 20 - Сопоставление формы профиля скорости ламинарного (а) и турбулентного течения (б).

Средняя скорость v при турбулентном движении не равна половине максимальной (как для ламинарного движения), а значительно больше, причем v / u _max= f(Re). Например, при Re = 10⁴ скорость v = 0,8 u _mах, а при Re = 10⁸ величина v = 0,9 u _mах.

На практике чаще всего встречается турбулентный режим движения (движение воды в трубах, каналах, реках и т.п.). Ламинарный режим движения встречается при движении по трубам жидкостей с большой вязкостью (нефти, нефтепродуктов и т.д.), а также при движении воды в тонких капиллярных трубках и порах грунта [2-4,9].

Дата добавления: 2014-10-23