Пересечение конической поверхности плоскостью. Построение развертки

О S Он

Oi

S Он

Oi

Если плоскость Р расположить (см. рис. 9.4) под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции (см. рис. 9.4) станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р построен способом перемены плоскостей проекций на плоско­сти S, перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллип­са — отрезок Л 7_S Ш 1'Т, малая — отрезок 4_S10_S= d.

Построение развертки (рис. 9.5). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограничен­ной пятью отрезками прямой линии и кривой А₀ UB_U — сину­соидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра — пря­моугольник с высотой, равной высоте цилиндра, а длиной L = nd, где d — диаметр цилиндра. Для построения на раз­вертке точек линии среза развертку основания цилиндра де­лят на такое же число частей, как и при построении проекций линий среза. Проводят через точки деления образующие и, пользуясь фронтальной проекцией, отмечают на них высоту до точек эллипса среза — точки 1₀, 2₀ и 12о, 3₀ и 11₀, 4> и 10о, 5₀ и %, 6q и <?о, 7₀. Соединяют построенные точки плав­ной кривой — синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее (ls2_s3_s...12_s), и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки М, указан­ной на развертке точкой Л/о. Для этого отметим хорду /₂ между образующей, на которой расположена точка' Л/о, и образую­щей точки 4. По хорде /₂ строим горизонтальную проекцию m (рис. 9.4) и по известной высоте ее расположения находим ее фронтальную проекцию /я'.

При пересечении конической поверхности вращения плос­костью получаются различные линии — прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — па­раболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно

вершины конической поверхности и соотношением между ве­личинами углов наклона секущей плоскости и образующей ко­нической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость Р (Р_и) проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверх­ностью в зависимости от угла а наклона плоскости к оси по­верхности образует:

при jj < а < (180° - р) - точку;

при а — р — прямую, по которой плоскость касается кони­ческой поверхности;

при 0 < а < р — две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис. 9.6, б, в):

при а = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность АМВ {а'т'Ь') в пересечении с плоскостью Р (Р₀) - рис. 9.6, б);

при р< ос < (180°— р) - эллипс (эллипс CMD (c'm'd') в пересечении с плоскостью Q (Q_v) — рис. 9.6, б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);

при а < р — гипербола (плоскость параллельна двум образу­ющим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например гипербола с вершинами Е (е') и F if') в пересечении с плоскостью Т (Т_и) или с вершинами 1(1") и 2 (2') в пересечении с плоскостью Т\ (T_lv) — рис. 9.6, в);

а) 6) в)

Рис. 9.6

при а = р — парабола (плос­кость, параллельная одной из об­разующих, например парабола с вершиной К (&') в пересечении с плоскостью R (Rv) — рис. 9.6, в). Наглядное изображение кри­вых — эллипса, гиперболы, па­раболы, получающихся при пере­сечении конической поверхности плоскостями Q, Т, R, приведено на рисунке 9.7 и на форзаце.

Пересечение конуса с плоско­стью. Для построения кривой ли­нии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения прямоли­нейных или круговых образующих конической поверхности с секу­щей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально-проецирующей плоскостью Р (P_v) конуса с вершиной S приведен на рисунке 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обыч­но выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на несколько равных частей (обычно 12), проводят горизон­тальные проекции s—1, s—2,..., s—12 образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных обра­зующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью Р (P_v): с', а", /', q', а также крайних точек а' и Ь''. Горизон­тальные проекции строят в проекционной связи на соответ­ствующих проекциях образующих — точки а, с, d, f, q, b на проекциях образующих s—1, s—2, s—3, s—5, s—6, s—7, а так­же симметричные им точки на проекциях образующих s—12, s—11, s—9, s—8. Горизонтальную проекцию е точки Е на об­разующей S—4 и симметричной точки на образующей S—10 строят с помощью окружности радиуса е'е\, проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с кону­сом — проецируется в натуральную величину: [АВ] Ш \а'Ь'\ Ма­лая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку т'{п') в середине фронтальной проекции а'Ь' боль­шой оси.

Риа 9.8

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями т'14' и /и — 14 — п. Горизонтальная проекция тп малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции т—14—п этой параллели. Профильная проекция ли­нии среза конуса также построена по фронтальной и горизон­тальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки а" и Ь" низ­шая и высшая, и'ил"- крайние (правая и левая), е"и сим­метричная ей — точки касания проекций крайних образующих.

Построение натурального вида фигуры среза AoM₀B₀No вы­полнено по координатам в системе координат х_и ух (см. также рис. 6.9).

Наряду с построением эллипса по точкам возможно пост­роение его по большой и малой осям. Соответствующий при-

мер приведен на форзаце. Там же приведены построения не­которых плоских кривых и плавных сопряжений.

Дата добавления: 2014-11-06