Математические методы синтеза радиоэлектронных систем

В математической постановке задача синтеза радиоэлектронных систем сводится, как правило, к отысканию экстремума некоторого функционала или некоторой функции многих переменных. Простейший функционал имеет вид

, (6.1)

где фиксированные пределы, функция.

Функционал – численная величина, зависящая от вида функции . В более общем случае исследователю приходится иметь дело со сложными функционалами, например, при синтезе, который базируется на теории статистических решений, необходимо найти минимум по среднего риска , т. е. минимум функционала

(6.2)

В выражении (6.2) распределения соответственно -мерное и -мерное, интеграл – -мерный, т. е.

Функционал (6.2) определяет связь между средним риском (числом) и искомым оператором радиоэлектронной системы , определяющим ее структуру. Задача синтеза – отыскание оптимальной системы, т. е. отыскание вида , минимизирующего .

В случае необходимости нахождения оптимальных параметров радиоэлектронной системы синтез сводится к поиску экстремума функции многих переменных где I – показатель качества синтезируемой системы при заданной области допустимых значений переменных. Отыскание экстремума функций нескольких переменных в общем случае является более простой задачей, чем нахождение экстремума функционала. Тем не менее, при большом числе независимых переменных она требует применения новых математических методов, а также разработки более эффективных алгоритмов синтеза

В задачах синтеза находят широкое применение такие математические методы, как линейное программирование, нелинейное программирование и градиентные методы [24, 25].

Линейное программирование представляет собой совокупность математических методов решения задачи синтеза в том простейшем случае, когда функция зависит от своих аргументов линейно, а область задается линейными неравенствами. В случае нелинейностиупомянутой зависимости задача синтеза относится к нелинейному программированию. В настоящее время методы нелинейного программирования разработаны лишь для простейшей нелинейной зависимости – квадратичной.

В более сложных ситуациях пользуются градиентными методами. Они основаны на том, что в точке экстремума в случае достаточно широкой области градиент функции должен быть равен нулю, т. е.

где – единичные векторы.

Поиск экстремума производится в данном случае по алгоритму

,

где – значения вектора соответственно на -м и -м шаге поиска; коэффициент пропорциональности, который зависит от .

Вид функции определяет ту или иную разновидность градиентного метода. Поиск продолжается до того шага, при котором и, следовательно, .

Основным недостатком градиентного метода является то, что в случае нескольких экстремумов у функции поиск может остановиться в точке, соответствующей не глобальному, а локальному (побочному) экстремуму.

6.3. Теоретико-игровой синтез сложных систем в конфликтных ситуациях

В кратком изложении основные понятия теории игр приведены в приложении 1 учебного пособия [1], подробно – в [23].

Теоретико-игровой метод синтеза радиоэлектронных систем применяется в двух основных случаях: при наличии конфликтных (состязательных, антагонистических) ситуаций; при неполных априорных сведениях о вероятностных характеристиках сигналов (сообщений), каналов и помеховой обстановке. Исследование антагонистических конфликтных ситуаций сторон (партнеров, игроков) – теория игр – позволяет найти оптимальные (минимаксные) стратегии обоих игроков и определить цену игры, т. е. количественно оценить результат применения найденных оптимальных стратегий. Примером конфликтной ситуации может быть «радиовойна», в процессе которой одна из сторон, например система передачи информации (СПИ), создает средства защиты от помех, организуемых системой радиопомех (СРП) как противником. В случае неполных априорных сведений теория игр позволяет отыскать по минимаксному критерию наименее благоприятное априорное распределение вероятностей и тем самым делает возможным применение математического аппарата теории статистических решений.

Оценим эффективность системы передачи информации с оптимальными линейными предыскажающими и корректирующими фильтрами в условиях активных помех. Предыскажающие фильтры включаются в передающий тракт СПИ для оптимизации формы передаваемого сигнала, а также для реализации пропускной способности системы. Корректирующие фильтры включаются в приемный тракт системы перед решающей схемой приемника и выполняют роль оптимальных линейных фильтров одновременно с восстановлением формы переданных сигналов (если это необходимо).

Пусть между партнерами (игроками), которыми являются СПИ и СРП, ведется антагонистическая игра. Разработчик (оператор) СПИ стремится построить систему таким образом; чтобы был обеспечен гарантированный минимальный уровень ее работоспособности в условиях действия любых активных радиопомех. С другой стороны, разработчик (оператор) СРП старается выбрать такую систему радиопомех, чтобы никакое действие со стороны СПИ не сделало ее работоспособность лучше, чем некоторый гарантированный максимальный уровень .

При заданном энергетическом спектре передаваемого сигнала оптимальное линейное предыскажение обеспечивает наибольшую энтропийную мощность сигнала на входе канала, т. е. статистически согласует источник сигнала с каналом, и позволяет реализовать пропускную способность последнего. Исследуемоценку игры по критерию , характеризующему отношение сигнал-помеха на выходе канала в случае взаимно обратных АЧХ предыскажающих и корректирующих фильтров:

, (6.3)

где спектральная плотность мощности аддитивной помехи, создаваемая в одной из возможных ситуаций СРП; АЧХ -го предыскажающего фильтра; эффективная полоса пропускания идеального канала.

В данной игровой ситуации СПИ имеет возможность независимо от СРП выбирать типы предыскажающих корректирующих (взаимно обратных) фильтров. СРП независимо от СПИ производит выбор энергетических спектров аддитивной помехи. Предположим, что выбор упомянутых чистых стратегий партнеров осуществляется дискретно. В зависимости от этих выборов образуется ситуация, работоспособность СПИ в которой может характеризоваться платежной функцией (6.3).

Полагаем, что средняя мощность полезного сигнала на входе канала фиксируется и считаем, что канал имеет ограниченную полосу частот . Таким образом, имеем антагонистическую игру, в которой СПИ стремится выбором частотных характеристик предыскажающих фильтров максимизировать функцию , а СРП стремится выбором энергетических спектров минимизировать ее. Пусть и энергетические спектры белой помехи и сигнала с равномерным спектром. Тогда

Ø при оптимальном предыскажении

Ø при неоптимальном предыскажении

Ø при любых других энергетических спектрах помехи

В [1] оказано, что каждый игрок должен использовать по одной чистой стратегии. Под чистой понимается стратегия, не связанная со случайным (рандомизированным) ее выбором, которую иногда приходится вводить в игровую ситуацию. СПИ должна использовать предыскажающий фильтр, обеспечивающий на выходе канала равномерный в полосе энергетический спектр сигнала, т. е. предыскажающий фильтр должен удовлетворять требованию статистического согласования источника сигала с каналом. СРП должна использовать помеху с постоянной спектральной плотностью в полосе (белый шум). При помехе с равномерным спектром только в случае оптимального предыскажения и корректирования получается во всех других случаях (при неоптимальном предыскажении и корректировании) , т. е. СПИ остается в проигрыше. При оптимальном предыскажении и корректировании (при минимаксных стратегиях СПИ и СРП) может иметь место . Поэтому для наибольшей эффективности предыскажения и корректирования необходимо реализовать условие

для любого энергетического спектра помех.

При разумных (осторожных) действиях партнеров цена игры не может превысить величину . Если СРП выбирает помеху с неравномерным энергетическим спектром в полосе , то при для СПИ, используя отклонение стратегии СРП от оптимальной, получим (при оптимальном предыскажении й корректировании) .

Наоборот, если СРП выбирает помеху с равномерным полосе частот спектром (или белый шум), то никакие стратегии СПИ не позволяют реализовать отношение | больше, чем (хотя эффективность предыскажения может быть большой, если форма энергетического |пектра сигнала отличается от равномерной).

Дата добавления: 2014-11-18