Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных

8.4.1. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения

Предположим, что изучается некоторая случайная величина X, закон распределения которой в точности неизвестен, и требуется определить этот закон из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина X подчинена тому или иному закону. С этой целью над случайной величиной X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величина X принимает определенное значение. Совокупность наблюденных значений величины и представляет собой первичный статистический материал, подлежащий обработке и научному анализу. Такая совокупность называется «простым статистическим рядом». Обычно простой статистический ряд оформляется в виде таблицы в первом столбце которой стоит номер опыта, а во втором – наблюденное значение случайной величины.

Простой статистический ряд представляет собой первичную форму записи статистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение статистической функции распределения случайной величины.

Статистической функцией распределения случайной величины X называется частота события в данном статистическом материале.

Для того чтобы найти значение статистической функции распределения при данном х, достаточно подсчитать число опытов, в которых величина X приняла значение, меньшее чем х, и разделить на общее число п произведенных опытов.

Приклад 8.4

Пусть в результате 10 наблюдений случайной величины получен статистический ряд табл. 8.4. Построить статистическую функцию распределения для случайной величины .

Розв‘язання.

Так как наименьшее наблюденное значение величины равно , то . Значение наблюдено один раз, его частота равна ; следовательно, в точке имеет скачок, равный . В промежутке от до функция имеет значение ; в точке происходит скачок функции опять на , так как значение наблюдено один раз, и т. д.

Вправа 8.7

Закончите расчеты примера 8.4 и постройте график функции .

É

Статистическая функция распределения любой случайной величины – прерывной или непрерывной – представляет собой прерывную ступенчатую функцию, скачки которой соответствуют наблюденным значениям случайной величины и по величине равны частотам этих значений. Если каждое отдельное значение случайной величины X было наблюдено только один раз, скачок статистической функции ^:распределения в каждом наблюденном значении равен где число наблюдений.

При увеличении числа опытов п, согласно теореме Бернулли, при любом х частота события приближается (сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, при увеличении п статистическая функция распределения приближается (сходится по вероятности) к подлинной функции распределения случайной величины X.

Если X – непрерывная случайная величина, то при увеличении числа наблюдений п число скачков функции увеличивается, сами скачки уменьшаются и график функции неограниченно приближается к плавной кривой функции распределения величины X.

В принципе построение статистической функции распредделения уже решает задачу описания экспериментального материала. Однако при большом числе опытов п построение описанным выше способом весьма трудоемко. Кроме того, часто бывает удобно – в смысле наглядности – пользоваться другими характеристиками статистических распределений, аналогичными не функции распределения , а плотности .

8.4.2, Статистический ряд. Гистограмма

При большом числе наблюдений (порядка сотен) простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой записи статистического материала – она становится слишком громоздкой и мало наглядной. Для придания ему большей компактности и наглядности статистический материал должен быть подвергнут дополнительной обработке – строится так называемый «статистический ряд».

Предположим, что в нашем распоряжении результаты наблюдений над непрерывной случайной величиной X, оформленные в виде простой статистической совокупности. Разделим весь диапазон наблюденных значений X на интервалы или «разряды» и подсчитаем количество значений приходящееся на каждый -й разряд. Это число разделим на общее число наблюдений и найдем частоту, соответствующую данному разряду.

Число разрядов, на которые следует группировать статистический материал, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания); с другой стороны, оно не должно быть слишком малым (при малом числе разрядов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо). Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число разрядов порядка 10 – 20. Чем богаче и однороднее статистический материал, тем большее число разрядов можно выбирать при составлений статистического ряда. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными. Проще, разумеется, брать их одинаковыми. Однако при оформлении данных о случайных величинах, распределенных крайне неравномерно, иногда бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения разряды более узкие, чем в области малой плотности.

Сумма частот всех разрядов, очевидно, должна быть равна единице.

Построим таблицу, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом.

Поясним это на примере.

Дата добавления: 2014-11-18