Последовательности: основные понятия, примеры

I Определение

Пусть каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число x_n: 1 ® x ₁, 2 ® x ₂, …, n ® x_n, … Бесконечная совокупность этил чисел x ₁, x ₂, …, x_n, … называется числовой последовательностью, сами числа называются членами последовательности, x_n - общий член последовательности. Краткая запись: { x_n } - «последовательность с общим членом x_n».

Другими словами, последовательность – это функция натурального аргумента f (n).

Последовательность можно задавать:

1) аналитически, например, ;

2) словесно, например, 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел;

3) рекуррентным способом, например, . При этом способе задают первый или несколько первых членов и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

II Элементы поведения и операции

Как и для произвольной функции, для последовательности можно ввести понятия монотонности и ограниченности.

1) Последовательность { x_n } называется возрастающей (неубывающей), если для любого n. Если же для любого n имеем неравенство , то последовательность называется убывающей (невозрастающей).

2) Последовательность { x_n } называют ограниченной сверху, если , и ограниченной снизу, если . Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Можно дать и другое определение ограниченности: .

Члены последовательности удобно изображать точками на числовой оси. Тогда ограниченность означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку , а возрастание означает, что каждый последующий член последовательности расположен правее предшествующего.

Над последовательностями можно осуществлять арифметические операции. Например, сумма последовательностей { x_n } и { y_n } - это последовательность { z_n } такая, что . Аналогично определяют разность, произведение и частное. Полезно уметь представлять данную последовательность как сумму или произведение двух других последовательностей. Например, есть

произведение и .

III Примеры

1) - стационарная последовательность.

2) - ограниченная, немонотонная.

3) - ограниченная снизу, немонотонная.

4) - ограниченная, возрастающая.

5) - это последовательность с общим членом

Дата добавления: 2014-11-08