Формализация системы в виде агрегата

Формализация системы в виде автомата

Технические устройства дискретного действия для переработки информации лежат в основе вычислительных машин, автоматических устройств для управления объектами в системах регулирования и управления и др.

Состояние объекта характеризуется перечнем (обычно статическим) всех свойств данного объекта и текущими (обычно динамическими) значениями каждого из этих свойств.

Наличие внутреннего состояния объектов означает, что порядок выполнения операций имеет существенное значение. Для таких объектов временной порядок существен, и наилучшим способом их формального описания является конечный автомат.

Система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретно поступающую информацию, и меняющего свое внутреннее состояние лишь в дискретные моменты времени.

Автоматы - дискретные системы, обладающие свойством стационарности.

Автоматные модели используются для анализа функционирования и проектирования отдельных узлов вычислительных систем, для разработки программного обеспечения, а также могут быть использованы при создании моделей в других областях техники, биологии, медицины и пр.

Автомат представляют как некоторое устройство («черный ящик»), имеющее конечное число входных и выходных каналов и некоторое множество внутренних состояний, на которое поступают внешние воздействия (входные сигналы), изменяющие внутреннее состояние автомата, причём реакция автомата на каждое воздействие (выходной сигнал автомата) зависит, как от конкретного значения воздействия, так и от состояния автомата.

Стохастические объекты (при описании которых учитываются случайные факторы), функционирующие в дискретном времени представляются как вероятностные автоматы. Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а распределение вероятностей на множестве состояний (автомат со случайными переходами), а функции выходов – распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами).

При выборе той или иной схемы формализации системы всегда возникает противоречивая задача – получить как можно более простую модель и обеспечить требуемую точность. При таком подходе различные системы могут быть представлены в виде различных достаточно простых математических схем.

Для анализа и синтеза структуры сложной системы с разнородными элементами (детерминированными, стохастическими, непрерывными, дискретными) необходима унификация математического описания состояний и операторов для всех элементов системы на основе единого формального языка описания системы.

Унифицированной математической моделью разнородных элементов системы является агрегат, который позволяет на едином языке представлять описания детерминированных и стохастических объектов, функционирующих как непрерывно, так и дискретно.

Понятие агрегата определяется на основании единого подхода к формализации процесса функционирования системы:

- состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;

- выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы и входными сигналами, относящимся к данному и предшествующим состояниям.

С позиций моделирования агрегат выступает как универсальный переработчик информации: за конечный интервал времени он воспринимает конечное число входных сигналов и выдает конечное число выходных сигналов. Из входных сигналов могут быть выделены управляющие сигналы.

Формальная интерпретация каждого положения.

Входные сигналы. Агрегат имеет входные контакты, на которые в моменты времени t_j, j = 1, 2,...; t_j+1 t_j, поступают входные сигналы. Входной сигнал х является элементом некоторого множества Х: х Є Х. Входной сигнал является вектором, размерность которого равна числу входных контактов, и на каждый контакт поступает "своя" координата входного сигнала. Входной сигнал может быть представлен конечным набором элементарных сигналов х₁(t),..., х_n(t), х_i Є Х_i, i = 1, n одновременно возникающих на входе агрегата.

На другие особые контакты системы поступают управляющие сигналы в моменты времени τ_i. Управляющий сигнал g является элементом множества Г: g Є Г.

За конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов. Совокупность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления называется входным сообщением, или (х) -сообщением, соответственно управляющих сигналов - управляющим сообщением или (g)-сообщением.

Выходной сигнал агрегата у является элементом некоторого множества У и определяется по состояниям агрегата z (t) при помощи оператора G. За конечный интервал времени оператор выдает конечное число выходных сигналов. В общем случае оператор является случайным оператором.

Совокупность выходных сигналов, упорядоченная относительно времени выдачи, называется выходным сообщением или (у)-сообщением.

Состояния системы. В каждый момент времен t Є (0, T), в который функционирует система, агрегат находится в одном из возможных состояний. В общем случае множество Т может быть непрерывным, дискретным или дискретно-непрерывным.

К системам, функционирующим в дискретном времени относятся вычислительные устройства. К системам, функционирующим в непрерывном времени относятся механические, электрические системы, системы автоматического управления непрерывными объектами. Дискретно-непрерывный характер имеют иерархические системы автоматизированного управления технологическими процессами: на нижних уровнях управление может рассматриваться в непрерывном времени, на более высоких – в дискретном.

Функционирование системы во времени рассматривается как процесс перехода ее из состояния в состояние: состояние системы изменяется как функция времени z (t), называемая фазовой траекторией.

Функции z (t) (или их вероятностные характеристики) могут зависеть от ряда параметров α_m, m = 1, 2,..., m *, α Є А.

В общем случае последовательности вида (t_j, х_j) оказываются реализациями случайных последовательностей (θ_j, X_j) с законом распределения L [ θ, X ], последовательности вида (t_j, g_i) - реализациями случайных последовательностей (θ_i, λ_i) с законом распределения L [ θ_i, λ_i ]. Функции z (t) представляют собой реализации случайных функций Z (t) с совокупностью многомерных законов распределения L [ Z (t)].

Состояние системы может определяться набором действительных чисел. Например, положение самолета в данный момент времени можно описать вектором фазовых координат (z₁, z₂, z₃), где z₁ – наклонная дальность, z₂ - азимут, z₃ - угол места.

В начальный момент времени t₀ состояния z имеют значения, равные z₀ (в общем случае задаются законом распределения L₀[Z (t₀)]).

Состояния агрегата z (t) для произвольного момента времени t > t₀ определяются по предыдущим состояниям оператором перехода Н:

z (t) = Н [z (t₀), t].

Если оператор случайный, это означает, что данному z (t) ставится в соответствие в общем случае не одно определенное z (t), а множество значений z (t) с некоторым законом распределения, зависящим от вида оператора Н. Конкретное значение z (t) определяется как реализация в соответствии с этим законом распределения.

Вид оператора перехода Н зависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты так называемых особых состояний агрегата или не содержит. Под особыми состояниями агрегата будем понимать его состояния в моменты получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния будем называть неособыми.

Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Наряду с z (t) вводится состояние z (t + 0), в которое агрегат переходит за малый интервал времени. Будем считать, что момент (t + 0) для любого t₁ > t принадлежит полуинтервалу (t, t₁].

Принятые обозначения для сообщений, состоящих из сигналов, поступающих в агрегат в течение полуинтервала времени (t₁, t₂ ]: входное сообщение обозначается как (x ] _t1 ^t2, управляющее сообщение – как (g ] _t1 ^t2.

Для любого полуинтервала времени (t₁, t₂ ] можно построить совокупность входных и управляющих сигналов, упорядоченную относительно моментов их поступления в агрегат - (х, g)-сообщения - (x, g ] _t1 ^t2.

Пусть t '_n – момент поступления в агрегат входного сигнала х '_n, тогда

z (t '_n + 0) = V '[ t '_n, z (t '_n), х'_n, g (t '_n), α ],

где g (t '_n) – последний управляющий сигнал, поступивший в агрегат в момент времени t < t '_n, α - параметр.

Если t ''_n – момент поступления в агрегат управляющего сигнала g ''_n, то

z (t ''_n + 0) = V ''[ t ''_n, z (t ''_n), g ''(t ''_n), α ].

Если в момент t _n в агрегат поступает сигнал (х_n, g_n) ∈ Х х Г, то состояние агрегата изменяется в два этапа: сначала в соответствии с оператором V '', а затем – с оператором V ':

z (t _n + 0 + 0) = V '{ t _n, V ''[ t _n, z (t _n), g _n, α ], х_n, g _n, α }.

Если полуинтервал (t _n, t _n+1] не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для t ∈ (t _n, t _n+1]

z (t) = U [ t, t _n, z (t + 0), α ].

Во множестве состояний Z определяется подмножество Z ^Y, зависящее в общем случае от g и α, такое, что, если для данного момента времени t * состояние z (t') ∈ Z ^Y при t * - ε < t ' < t *, где ε> 0 – достаточно малое число, а z (t*) ∈ Z ^Y, то t* является моментом выдачи выходного сигнала

y = G '' [ t *, z (t *), g (t *), α ].

Подмножество Z ^Y часто обозначается Z ^Y(g, α), подчеркивая этим возможность его изменения в зависимости от g и α.

Процесс функционирования агрегата, таким образом, состоит в последовательной смене его состояния в соответствии с приходящими сигналами, которые упорядочиваются в зависимости от моментов их возникновения.

Агрегаты могут служить основой для построения достаточно сложных систем.

Дата добавления: 2014-11-29