Уравнение прямой

.Найдем уравнение прямой проходящей через точку и параллельной вектору . Пусть - произвольная точка прямой, тогда и по условию параллельности векторов:

(8)

Уравнение (8)- называется каноническим и является искомым уравнением прямой. Вектор - называется направляющим вектором прямой.

. Параметрическое уравнение прямой:

(9)

.Уравнение прямой, проходящей через две точки :

(10)

. Общее уравнение прямой:

(11)

. Угол между прямыми. Угол между прямыми, заданными их каноническими уравнениями: и определяется по формуле

(12)

Условие параллельности двух прямых:

(13)

Условие перпендикулярности двух прямых:

(14)

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованной прямой и ее проекцией на плоскость. Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

; (15)

Условие параллельности прямой и плоскости

(16);

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

(17).

.Точка пересечения прямой и плоскости. Написав параметрическое уравнение прямой , , , и подставив ее в уравнение плоскости , получим некоторое значение . Подставив найденное значение в уравнение прямой, находим искомую точку пересечения прямой с плоскостью.

Пример 4. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Решение. Воспользуемся формулой (10) получим: или .

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми

и .

Решение. Точка - точка первой прямой, - точка второй прямой. - направляющий вектор.

, где - угол между векторами и N.

, .

.

.

и

Ответ: .

Пример 6. Для пирамиды с вершинами в точках: , найти

а) длину ребра

б) угол между ребрами и

в) уравнение плоскости

г) площадь грани

д) угол между ребром и плоскостью

е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань

ж) объем пирамиды

Решение. а) Длина ребра

.

б) Угол между ребрами и .

Обозначим через - угол между ребрами и . Тогда, если угол между векторами и острый, то равен этому углу, если же угол между этими векторами тупой, то равен этому углу минус . Так как

,

,

, то

.

Отсюда, угол между векторами и равен . Следовательно, .

в) Уравнение плоскости . Уравнение плоскости, проходящей через три точки, вычисляется по формуле

где -соответственно координаты этих точек.

Таким образом,

,

- уравнение плоскости .

г) Площадь грани .

Так как и , то

.

Отсюда - площадь грани .

д) Угол между ребром и плоскостью .

Угол между ребром и плоскостью равен , где

-угол между вектором и нормалью к плоскости , т.е. -угол между векторами и и .

Так как , то ,

, , , то .

Следовательно, и

.

е) Уравнение высоты, опущенной из точки на грань .

Пусть M – произвольная точка прямой, перпендикулярной плоскости грани и проходящей через точку .

Тогда скалярные произведения и .Так как , и , то

Следовательно,

-уравнение искомой прямой.

Или - каноническое уравнение искомой прямой.

ж) Объем пирамиды .

Так как , , , то

;

- объем пирамиды .

Контрольные вопросы.

1. Уравнение плоскости.

2. Угол между плоскостями.

3. Расстояние от точки до плоскости.

4. Уравнение прямой.

5. Угол между прямыми.

6. Прямая и плоскость

Задания.

1. Найти расстояние точки от плоскости проходящей через точки , , .

2. Найти плоскость, проходящую через точку параллельно плоскости Найти угол между плоскостями и

3. Составить параметрическое уравнение прямой проходящей через

точку параллельно вектору .

4. Составить каноническое уравнение прямой, проходящие через

две данные точки и .

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через

прямую и перпендикулярной плоскости .

6.Для пирамиды с вершинами в точках: , найти

а) длину ребра

б) угол между ребрами и

в) уравнение плоскости

г) площадь грани

д) угол между ребром и плоскостью

е) уравнение высоты, опущенной из точки на грань

ж) объем пирамиды

Занятие 6

Кривые второго порядка.

Дата добавления: 2014-12-16