Оцінювання параметрів багатофакторної лінійної регресії

Як і у випадку простої вибіркової регресії, оцінки параметрів моделі лінійної множинної регресії, які отримані за методом найменших квадратів, є BLUE-оцінками, якщо виконуються такі припущення:

1. У моделі (4.4) матриця є невипадковою (детермінованою, утвореною з фіксованих елементів), а - вектор випадкових величин.

2. Математичне сподівання значення випадкової величини рівне 0:

, (4.6)

де - нульовий вектор розміру .

3. Випадкові величини і незалежні між собою і мають постійну дисперсію:

; .

Матрицю

. (4.7)

називають дисперсійно-коваріаційною матрицею випадкових величин (діагональні елементи матриці-дисперсії, а всі інші - коваріації).

* Знаком “ ´ ” позначатимемо операцію транспонування матриць.

Так як зв’язок між випадковими величинами відсутній, то за умови постійної дисперсії (умова гомоскедастичності) матриця набере такого вигляду:

, (4.8)

де - одинична матриця.

4. Пояснювальні змінні не корелюються із випадковими величинами, тобто

. (4.9)

5. Пояснювальні змінні утворюють лінійно незалежну систему векторів, інакше кажучи, не є мультиколінеарними. У такому випадку ранг матриці буде дорівнювати і

. (4.10)

6. Вектор є нормально розподіленим з математичним сподіванням, яке дорівнює 0, і дисперсією, яка дорівнює , тобто

~ (4.11)

У випадку, коли , існує систематичний вплив на пояснювану змінну, що може спричинюватися помилкою специфікації (до моделі не включено суттєвих пояснювальних змінних).

Умову сталості дисперсії випадкової величини називають гомоскедастичністю і виконується вона тільки тоді, коли значення випадкової величини є результатом помилки вимірювання. Якщо випадкові величини не акумулюють сумарну дію факторів, які не увійшли до моделі, то дисперсія залишків буде змінюватися для окремих спостережень (таке явище називають гетероскедастичністю). Гетероскедастичність накладає суттєві обмеження на вибір методу оцінювання параметрів моделі.

Наявність лінійної або високої кореляції між значеннями пояснювальних змінних (мультиколінеарність) призводить до серйозних проблем, пов’язаних із труднощами обчислювального характеру під час визначення параметрів рівняння регресії (через близькість до нуля визначника матриці системи нормальних рівнянь), спотворенням змісту коефіцієнтів регресії в процесі їх економічної інтерпретації, ненадійністю результатів моделювання (через чутливість їх до набору даних і вибраної специфікації моделі).

Модель (4.4), для якої виконуються передумови 1-5, називається класичною лінійною моделлю множинної регресії. Якщо ж виконується і припущення 6, то модель має назву класичної нормальної лінійної моделі множинної регресії.

Для оцінювання параметрів рівняння лінійної множинної регресії застосуємо критерій мінімізації суми квадратів відхилень фактичних значень пояснюваної змінної від теоретичних значень (метод найменших квадратів – 1МНК):

. (4.12)

У матричній формі умову (4.12) можна записати так:

. (4.13)

З урахуванням (4.5) вектор залишків представимо у вигляді

, (4.14)

і після підстановки (4.14) у (4.13) отримаємо

. (4.15)

Враховуючи той факт, що добуток є скалярною величиною, згідно правила транспонування добутку матриць , отримаємо:

. (4.16)

На підставі рівняння (4.16) вираз (4.13) набуває вигляду:

. (4.17)

Необхідною умовою існування екстремуму функції багатьох змінних є рівність нулеві частинних похідних:

(4.18)

Перед тим, як застосувати 1МНК для знаходження параметрів лінійної множинної регресії, нагадаємо наступні три положення матричного диференціювання:

1. Вектор

(4.19)

називають похідною скалярної функції від векторного аргумента (вектора-стовпця) .

2. Якщо , де і - вектори –стовпці, то

. (4.20)

3. Якщо А є симетричною квадратною матрицею розміру , а - вектор-стовпець і , то

. (4.21)

Вважаючи, що , а є симетричною матрицею, із (4.17) отримуємо:

, (4.22)

або

. (4.23)

Помножимо обидві частини (4.23) зліва та обернену матрицю :

. (4.24)

Так як в результаті виконання послідовності операцій отримується одинична матриця, то оцінки параметрів рівняння лінійної множинної регресії знаходять згідно (4.25):

. (4.25)

Систему нормальних рівнянь для знаходження невідомих параметрів можна записати також у такому вигляді:

(4.26)

Приклад 4.1. Оцінити параметри лінійної множинної економетричної моделі, яка характеризує залежність між продуктивністю праці в бригаді та фондоозброєністю і плинністю робочої сили за даними, поданими у табл.4.2.

Таблиця 4.2

№ бригади	Середній обсяг виробленої продукції (виробіток), тис.грн./люд.,	Плинність робочої сили в бригаді, %,	Фондоозброєність, тис.грн./люд.,
	146,47	11,61	7,11
	198,52	6,94	8,06
	276,34	5,13	12,34
	291,89	4,17	14,38
	315,63	5,87	14,27
	329,14	2,84	14,82
	164,87	8,05	7,56
	186,69	8,45	8,49
	341,92	2,98	14,95
	223,54	6,55	10,23

Продовження табл.4.2

	239,83	6,43	10,55
	256,11	5,98	11,03
	121,34	12,36	6,31
	137,42	10,07	7,01
	309,14	3,11	14,18
	214,55	7,03	9,54

Вибіркова економетрична модель запишеться:

,

де - розрахункові значення середнього обсягу виробленої продукції на одного працюючого (продуктивність праці);

- плинність робочої сили;

- фондоозброєність.

Для оцінювання невідомих параметрів рівняння лінійної множинної регресії скористаємося виразом (4.25), для якого вхідними даними будуть:

Послідовно виконуючи операції за правилами матричної алгебри отримуємо:

;

;

;

.

Таким чином, вибіркове рівняння регресії можна записати як

.

Можна зробити висновок, що у випадку незмінності фондоозброєності збільшення плинності робочої сили на 1% призводить до зниження продуктивності праці у середньому на 6,07 тис.грн. І, навпаки, збільшення на одиницю показника фондоозброєності за умови сталості показника плинності забезпечує зростання продуктивності праці у середньому на 17,57 тис.грн.

Підставивши фактичні значення пояснювальних змінних у побудоване рівняння регресії, знайдемо вектор теоретичних (розрахункових) значень пояснюваної змінної і вектор залишків:

Дата добавления: 2014-12-16