Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними




Рівняння виду , (6)

де і – задані і неперервні на деякому інтервалі функції називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Права частина рівняння (6) являє собою добуток двох множників, кожен з яких є функцією лише однієї змінної. Щоб розв’язати рівняння (6), треба відокремити змінні. Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (6) на (вважатимемо, що ) і помножимо на , тоді рівняння (6) запишеться у вигляді

. (7)

Диференціальне рівняння виду (7), в якому множник при є функцією, яка залежить лише від , а множник при є функцією, яка залежить лише від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Оскільки рівняння (7) містить тотожно рівні диференціали, то відповідні невизначені інтеграли відрізняються між собою на сталу величину, тобто

.

Диференціальне рівняння (7) є окремим випадком рівняння виду

.

Приклад 1.2.Знайти загальний розв’язок рівняння . Знайти його частинний розв’язок при заданих початкових умовах: .

 

 

●Розділимо обидві частини рівняння на (1+x2)y≠0.

Це загальний розв’язок рівняння. Знайдемо його частинний розв’язок:

Отже, - частинний розв’язок рівняння. ●

 

Розглянемо рівняння (8), де - задані числа.

Заміною рівняння (8) зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Підставимо у рівняння (8):

Інтегруючи це рівняння і замінюючи на , дістанемо загальний інтеграл рівняння (8).

Приклад 1.3. Розв’язати рівняння .

● Покладемо , тоді або . Звідки . Інтегруючи це рівняння, знаходимо , тобто - загальний розв’язок рівняння. ●

 

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1. Що називається диференціальним рівнянням першого порядку?

2. Які диференціальні рівняння першого порядку називаються неявним ДР?

3. Запишіть диференціальні рівняння першого порядку в диференціальній формі.

4. Що називається розв’язком диференціального рівняння першого порядку?

5. Сформулюйте теорему про існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння першого порядку (теорема Коші).

6. Що називається частинним розв’язком диференціального рівняння першого порядку?

7. Що називається рівнянням з відокремлюваними змінними ?

8. Алгоритм розв’язку диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.





Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 1121; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.224.225.228
Генерация страницы за: 0.085 сек.