Приклад 4.1

Диференціальні рівняння, нерозв’язувані відносно похідної

Нехай маємо рівняння виду

, (1)

яке важко, або неможливо розв’язати відносно похідної .

Розглянемо деякі інтегровані в квадратурах класи таких рівнянь.

1⁰. Нехай рівняння (1) залежить лише від :

. (2)

Якщо алгебраїчне рівняння має хоча б один дійсний корінь , то рівняння (2) має загальний інтеграл

, (3)

де - довільна стала.

Справді, оскільки рівняння інтегрується: , то підставивши в (2), матимемо рівність (3). Можна показати, що рівняння (2) особливих розв’язків не має.

Розв’язати рівняння .

● Оскільки алгебраїчне рівняння має дійсний корінь , то, згідно з (3), загальний інтеграл заданого рівняння має вигляд

. ●

2⁰. Нехай рівняння (1) не залежить від :

. (4)

Якщо ввести параметр t, то рівняння (4) можна замінити двома рівняннями:

такими, що

Тоді , звідси Таким чином, шукані інтегральні криві визначаються параметричними рівняннями

.

Дата добавления: 2014-12-17