Вихрь (ротор) вектора

Часто в поле вектора приходится вычислять интеграл от этого вектора по замкнутому контуру (см., например, теорему § 7, где вычислен такой интеграл для поля градиента). Интеграл вектора по замкнутому контуру обычно называется циркуляцией вектора.

Итак, рассмотрим выражение

Значение циркуляции вектора, очевидно, зависит от обхода контура; такой интеграл меняет свой знак при изменении направления обхода контура на противоположное. Однако по своему определению циркуляция вектора есть скаляр. Это вполне согласуется и с физическим смыслом циркуляции; например, в силовом поле интегралом вектора по кривой выражается работа силы на пути, совпадающим с этой кривой.

Возьмём точку М( в поле вектора и окружим её малым замкнутым плоским контуром l. Пусть s – площадка, ограниченная контуром l, и – единичный вектор нормали к этой площадке. Составляющей вихря вектора в точке М на направление называется предел отношения циркуляции вектора по контуру l к величине, охватываемой им площадки s, когда контур стягивается на точку М,

(14)

Таким образом, вводимый вектор обозначается символом rot , причём формула (14) даёт определение любой его проекции совершенно независимо от выбора координатной системы. Знак этой проекции зависит от направления обхода и, следовательно, нужно условиться о выборе направления обхода. Направление обхода должно выбираться так, чтобы (при применении правой системы координат) нормаль была направлена в ту сторону, откуда направление обхода кажется совершающимся против часовой стрелки.

Различным направлениям будут отвечать различные значения предела, выражаемого формулой (14).

Вектор rot имеет то направление , при котором достигается максимум значения этого предела, и равен по величине этому максимуму.

Если векторная функция и её первые производные непрерывны как внутри, так и на самом контуре, то интересующий нас предел может быть вычислен, так как значение в окрестности точки М, на которую сжимается контур l, может быть выражено аналитически через значения и его производных в точке М. В прямоугольной системе координат это вычисление даёт

(15)

(16)

Следует иметь в виду весьма важную теорему Стокса, имеющую место при указанных ограничениях для и его производных,

где s – любая (регулярная) поверхность, опирающаяся на замкнутый контур l.

Дата добавления: 2014-11-28