Аналитический поиск смешанной стратегии и средней величины платежа (цены игры) в простых случаях

Замечания

При упрощении матрицы сохранились верхняя и нижняя цены игры

Точный результат решения задачи (читатель может восстановить процесс расчета самостоятельно на основе п. 2.5, подробное решение – в примере 6в, где вероятности применения Получателем его стратегий А 1 и А 2 обозначаются x ₁ и x ₂)

Значения вероятности применения стратегий Плательщика B 2 y_{2 опт} (а затем и применения стратегий Плательщика B 1 y _1опт = 1 – y _2опт ) и цены игры
n = m_опт, могут быть получены из системы уравнений

Ограничимся рассмотрением платежных матриц размера , не имеющих «седловой» точки. Такие матрицы довольно часто могут быть получены в результате последовательного упрощения разнообразных, более сложных задач, с помощью приемов, описанных выше.

И первый, и второй игроки (Получатель и Плательщик) при применении их смешанных стратегий должны достичь средней величины платежа n (причем a< n < b в серии многократных игр).

Смешанная стратегия Получателя состоит в применении его стратегии А 1 с вероятностью x ₁ и стратегии А 2 с вероятностью x ₂; смешанная стратегия Плательщика состоит в применении его стратегии В 1 с вероятностью y ₁ и стратегии В 2 с вероятностью y ₂. Эти вероятности являются искомыми величинами. Между собой они попарно связаны соотношениями x ₁ + x ₂ =1, y ₁ + y ₂ =1.

Предположим, что Плательщик достаточно много раз применяет свою стратегию В 1. Тогда для средней величины платежа должно выполняться равенство: n = a ₁₁ x ₁ + a ₂₁ x ₂, где a ₁₁ и a ₂₁ – элементы первого столбца платежной матрицы.

В качестве альтернативы примем, что Плательщик достаточно много раз применяет свою стратегию В 2. Тогда для средней величины платежа должно выполняться равенство: n = a ₁₂ x ₁ + a ₂₂ x ₂, где a ₁₂ и a ₂₂ – элементы второго столбца платежной матрицы.

С точки зрения Плательщика рассмотрим две взаимно альтернативные возможности, которые может предоставить ему Получатель: при условии применения Получателем стратегии А 1 средняя величина платежа должна составить n = a ₁₁ y ₁ + a ₁₂ y ₂, где a ₁₁ и a ₁₂ – элементы первой строки платежной матрицы; наконец, при условии применения Получателем стратегии А 2 средняя величина платежа должна составить n = a ₂₁ y ₁ + a ₂₂ y ₂ , где a ₂₁ и a ₂₂ – элементы второй строки платежной матрицы.

Из полученных равенств составим систему уравнений для нахождения всех искомых величин, вероятностей применения стратегий и цены игры

Полученная система уравнений почти всегда является совместной и вырожденной, что позволяет искать решения задачи для Получателя и Плательщика «по отдельности» (цена игры n должна совпасть)

Дата добавления: 2014-12-27