Игры с природой

Раздел посвящен ситуации, когда один из игроков (он ассоциируется со вторым игроком, Плательщиком) принимает решения о выборе стратегии не рационально, стремясь оптимизировать величину платежа, а каким-либо другим способом. Такое поведение можно назвать не экономическим, а стихийным. Соответственно, для рационального выбора оптимальной стратегии первого игрока используются специальные приемы, учитывающие такое «поведение» второго, и некоторые дополнительные факторы, влияющие на принятие решений. В частности, возможность тяжких, катастрофических последствий при ошибке, и прогностические оценки вероятностей реализации стратегий второго игрока, если такие доступны. Суть приемов раскрыта ниже, в приводимом примере.

По аналогии с теорией антагонистических игр, возможные результаты взаимодействия сводятся в «платежную матрицу». Она содержит величины выгоды, получаемой активным и рациональным (первым) игроком при разных вариантах реализации взаимодополняющих и взаимоисключающих гипотез о «поведении» второго игрока (что моделируется как «выбор» столбца) и одной из стратегий, доступных первому игроку. Наличие в матрице отрицательных значений отражает возможность убытков. Могут быть известны также вероятности реализации гипотез о «поведении природы».

Активный игрок принимает решение о выборе строки до того, как получена информация о выборе столбца. Принятое решение не влияет на «поведение природы», кооперация и изменение решения «в процессе взаимодействия» невозможны.

Пример 12. Для данной платежной матрицы

- Упростить данную платежную матрицу, исключив из неё доминируемые строки, соответствующие заведомо невыгодным стратегиям активного игрока;

- восстановить пропущенную вероятность одной из гипотез о «поведении природы» и выявить оптимальную стратегию активного игрока по математическому ожиданию прибыли;

- выявить оптимальные стратегии активного игрока, применяя оптимистический и пессимистический (Вальде) критерии, критерии Гурвица (при g = 0,3), Сэвиджа.

Решение

1. Первый игрок имеет пять стратегий, а второй, «природа», характеризуется четырьмя возможными гипотезами. Известны вероятности реализаций первых трех гипотез. Введем обозначения стратегий активного игрока – «получателя выгоды» и «природы»

	П1	П2	П3	П4
А 1			-4
А 2	-4	-5		-5
А 3
А 4				-5
А 5		-3

2. Сравним строки данной платежной матрицы для выявления заведомо невыгодных игроку стратегий

	П1	П2	П3	П4
А 1 и А 2	6>-4	3>-5	-4<2	6>-5
А 1 и А 3	6>5	3<8	-4<1	6>0
А 1 и А 4	6>3	3>0	-4<1	6>-5
А 1 и А 5	6<7	3>-3	-4<3	6>4
А 2 и А 3	-4<5	-5<8	2>1	-5<0
А 2 и А 4	-4<3	-5<0	2>1	-5= -5
А 2 и А 5	-4<7	-5<-3	2<3	-5<4
А 3 и А 4	5>3	8>0	1=1	0>-5
А 3 и А 5	5<7	8>-3	1<3	0<4
А 4 и А 5	—	—	—	—

Вывод: в выделенных строках знаки неравенств – одинаковые, что указывает на невыгодность стратегий активного игрока А 2 и А 4 относительно стратегий А 5 и А 3 соответственно. Дальнейшее сравнение со стратегией А 4 не проводилось.

Платежную матрицу можно упростить, удалив из неё строки, соответствующие выявленным невыгодным стратегиям (они выделены в таблице).

	П1	П2	П3	П4
А 1			-4				П1	П2	П3	П4
А 2	-4	-5		-5		А 1			-4
А 3					~	А 3
А 4				-5		А 5		-3
А 5		-3

2. Восстановим вероятность возможного варианта П4 «поведения» природы, исходя из того, что события П1, П2, П3 и П4 образуют полную группу

Рассчитаем математическое ожидание дискретной случайной величины – получаемой игроком выгоды, при возможном использовании каждой его стратегии

	П1	П2	П3	П4	Mi	Расшифровка
Pj	0,24	0,11	0,38	0,27
А 1			-4		1,87
А 3					2,46
А 5		-3			3,57

Вывод: при многократном взаимодействии оптимальной является стратегия А 5, обеспечивающая приближение величины среднего «платежа» к значению m = 3,57. При этом иногда (в одиннадцати процентах случаев) игрок будет нести убыток.

3. Оптимистический критерий состоит в выявлении такой стратегии рационального игрока, которые позволяют получить наибольшую выгоду (при наиболее удачном стечении обстоятельств). Этой стратегии соответствует максимальный элемент в платежной матрице. Критерий используется в ситуациях невысокой ответственности за возможную ошибку.

Проведем сравнение максимальных значений выгоды для каждой отдельной стратегии рационального игрока

	П1	П2	П3	П4
Pj	0,24	0,11	0,38	0,27
А 1			-4
А 3
А 5		-3

Вывод: максимальная выгода m = 8 может быть получена при реализации стратегии А 3. (Принимая во внимание известные вероятности гипотез о «поведении природы» заметим, однако, что вероятность такого события довольно низка – 11 %).

4. Пессимистический критерий (критерий Вальде) состоит в реализации такого же подхода при выборе стратегии, как при взаимодействии с рационально действующим партнером, нацеленным на минимизацию величины платежа. Соответственно, оптимальной считается стратегия, реализующая «нижнюю цену» игры. Критерий применяется в случаях чрезвычайно высокой ответственности за промах, для предотвращения катастрофических убытков.

Обратим внимание на минимальные значения в строках платежной матрицы

	П1	П2	П3	П4
А 1			-4		-4
А 3
А 5		-3			-3

Нижняя цена игры

(реализуется при использовании стратегии А 3).

Вывод: при реализации стратегии А 3 все платежи – неотрицательные, что обеспечивает отсутствие убытков. Выбор других стратегий может привести к убыткам.

5. Критерий Гурвица является промежуточным между двумя предыдущими и опирается на заранее оцененную «меру ответственности» – величину, принимающую значения от g_min = 0 при отсутствии тяжких последствий (катастрофических убытков) до g_max = 1 при их возможности. Для каждой стратегии игрока рассчитывается вспомогательная величина

которая является основой для принятия решения о выборе стратегии.

Произведем расчет величины G _i при значении g = 0,3 для каждой стратегии и сделаем вывод

	П1	П2	П3	П4			G i	Расшифровка
А 1			-4		-4		-1
А 3							2,4
А 5		-3			-3

Вывод: при данном «уровне ответственности» оптимальной является стратегия А 3. Она обеспечивает наиболее привлекательные результаты и при наилучшем, и при наихудшем вариантах развития событий. (Отметим, что для данной платежной матрицы такой вывод повторился бы при любом значении параметра g, так как стратегия А 3 отвечает одновременно и оптимистическому, и пессимистическому критериям).

6. Для применения критерия Сэвиджа переработаем платежную матрицу. Предположим, что реализуется одна из гипотез о «поведении» природы. Тогда потери, вызванные неправильным выбором стратегии, определяются разностью между максимальным элементом в столбце платежной матрицы и элементом выбранной стратегии

Элементы такой матрицы («матрицы рисков») показывают величину возможного «сожаления» о том, что выбор остановился на конкретной стратегии, при условии, что «поведение» природы было бы известно. Оптимальной является стратегия, уменьшающая максимальный риск.

В рассматриваемом случае получаем матрицу рисков

	П1	П2	П3	П4		П1	П2	П3	П4
А 1	7-6	8-3	3-(-4)	6-6
А 3	7-5	8-8	3-1	6-0	=
А 5	7-7	8-(-3)	3-3	6-4

Вывод: по данному критерию оптимальной является стратегия А 3, допускающая максимальный риск 6 ед. Заметим, с учетом известных вероятностей гипотез о «поведении» природы, что стратегия А 5 содержит два нуля, т. е. дважды может быть названа наилучшей по столбцу платежной матрицы, но в ней же – наибольший риск величиной 11 ед.

Ответ

– исключение доминируемых строк позволяет упростить платежную матрицу, сохранив стратегии А 1, А 3, А 5;

– вероятность гипотезы П4 – 27 %;

– оптимальной по математическому ожиданию прибыли является стратегия А 1;

– оптимальной по оптимистическому и пессимистическому (Вальде) критериям, а также по критериям Гурвица (при  = 0,3) и Сэвиджа является стратегия А 3.

Дата добавления: 2014-12-27