Суть статистичного зведення. Види зведення 2 страница

Формула середньої арифметичної зваженої використовується у випадках, коли знаменник логічної формули відомий, а чисельник визначається шляхом суми добутків варіантів на їхні частоти.

Середня арифметична має цілу низку математичних властивостей. Розглянемо найважливіші з них:

►алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю, тобто ;

►добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіантів на відповідні їм частоти, тобто ;

►якщо усі ваги зменшити або збільшити в декілька разів, то середня арифметична від цього не зміниться;

► якщо всі варіанти збільшити чи зменшити на одну й ту саму величину або у декілька разів, то середня величина збільшиться або зменшиться аналогічно.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дають змогу в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення.

4.6. Середня гармонічна проста та зважена, умови та порядок її розрахунку

Середня гармонічна – це величина, обернена середній арифметичній із обернених значень ознаки, тому середня гармонічна також буває двох видів: середня гармонічна проста; середня гармонічна зважена.

Середня гармонічна проста дуже рідко застосовується у статистиці. Формула для її розрахунку має наступний вигляд:

Середня гармонічна зважена розраховується за формулою:

,

де – добуток варіант на частоти ().

Середня гармонічна зважена використовується тоді, коли чисельник логічної формули відомий, невідомий знаменник, тобто чисельність сукупності, однак дану чисельність можливо розрахувати.

Порядок розрахунку середньої хронологічної, квадратичної, геометричної, та структурних середніх буде розглянуто пізніше в інших розділах.

4.7. Особливості визначення середніх величин за даними інтервальних варіаційних рядів розподілу

Часто доводиться розрахувати середні величини на основі даних інтервального варіаційного ряду розподілу, де варіанти виражені інтервалами. Тому для обчислення середньої величини спочатку треба перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визначити середину кожного інтервалу. Середина (середнє значення) кожного інтервалу розраховується як півсума його нижньої та верхньої межі. Потім середню величину визначають так само, як у дискретному варіаційному ряді.

Трохи складніше розрахунок, якщо інтервали відкриті. У даному випадку треба умовно знайти невідомі межі.

Порядок розрахунку середньої величини за даними інтервальних варіаційних рядів розподілу розглянемо на основі наступних даних.

Таблиця 4.1.

По підприємству відомі наступні дані про денний виробіток робітників

Денний виробіток, шт.	до 5	5 – 10	10 – 15	15 і більше
Кількість робітників, чол.

Визначити середній денний виробіток на одного робітника підприємства.

Таблиця 4.2.

Робоча таблиця

Денний виробіток, шт.	Кількість робітників, чол.	Розрахунок середини інтервалу
розрахунок невідомої межі	інтервал	середина інтервалу
до 5		5- (10 -5) = 0	0-5
5-10		...	5-10
10-15		...	10-15
15 і більші		15+(15-10)=20	15-20

шт.

4.8. Питання для самоперевірки

1) Поясніть суть та значення статистичного показника при вивченні соціально-економічних явищ та процесів.

2) Дайте визначення статистичного показника.

3) Вкажіть структурні елементи статистичного показника.

4) Вкажіть види статистичних показників за ознакою часу, дайте їх характеристику та наведіть приклади.

5) Вкажіть види статистичних показників за способом обчислення, дайте їх характеристику та наведіть приклади.

6) Дайте визначення абсолютних величин.

7) Наведіть приклади абсолютних величин та вкажіть їх значення в статистиці.

8) Вкажіть одиниці вимірювання абсолютних величин.

9) Які показники називають відносними величинами, яка їх роль у статистиці?

10) Вкажіть форми вираження відносних величин.

11) Які види відносних величин Ви знаєте?

12) Як обчислюють відносні величини виконання плану, що вони характеризують?

13) Як обчислюють відносні величини планового завдання, що вони характеризують?

14) Яку відносну величину визначають шляхом порівняння фактичних даних звітного періоду з фактичними даними за попередній або базисний період?

15) Перелічіть види відносних величин динаміки та вкажіть порядок їх розрахунку.

16) Який існує зв’язок між відносними величинами виконання плану, планового завдання та динаміки?

17) Що характеризують відносні величини структури, вкажіть порядок їх розрахунку.

18) Що характеризують відносні величини порівняння.

19) Різновидом якої величини є відносна величина координації?

20) Вкажіть порядок розрахунку відносних величин координації, що вони показують.

21) Що характеризують відносні величини інтенсивності?

22) Наведіть приклади відносних величин інтенсивності.

23) Дайте визначення середніх величин.

24) Вкажіть значення середніх величин при проведенні статистичних досліджень.

25) Перелічіть види середніх величин.

26) Вкажіть формули для розрахунку середньої арифметичної простої та зваженої.

27) Вкажіть математичні властивості середньої арифметичної величини.

28) Коли використовують середню арифметичну просту, а коли середню

арифметичну зважену?

29) Вкажіть формули для розрахунку середньої гармонічної простої та зваженої.

30) Вкажіть порядок розрахунку середніх величин за даними інтервальних варіаційних рядів розподілу.

Глава 5. Аналіз рядів розподілу

5.1. Значення аналізу рядів розподілу

Статистична сукупність формується під впливом різних причин та умов, з одного боку – типових, загальних для всіх елементів сукупності, а з іншого –випадкових, індивідуальних. Їх спільна взаємодія визначає як індивідуальні значення ознак, так і їх розподіл у межах сукупності. Характерні властивості складу та структури статистичної сукупності відбиваються в рядах розподілу. Тому аналіз рядів розподілу займає велике значення при проведенні статистичних досліджень.

Поглиблений аналіз рядів розподілу передбачає:

► визначення типового рівня ознаки, який є центром тяжіння;

► вимірювання варіації ознаки, ступеня згрупованості індивідуальних значень ознаки навколо центра розподілу;

► оцінювання особливостей варіації, ступеня їх відхилення від симетрії;

► оцінювання нерівномірностірозподілу значень ознаки між окремими елементами сукупності, тобто ступінь їх концентрації.

Поняття про ряди розподілу, їх елементи та види було розглянуто раніше у главі 3.

5.2. Характеристики центра розподілу

Центром тяжіння будь-якої статистичної сукупності є типовий рівень ознаки, узагальнююча характеристика всього розмаїття її індивідуальних значень. Такою характеристикою є середня величина. Види середніх величин, їх значення у статистиці, порядок розрахунку середньої арифметичної та середньої гармонічної було розглянуто у главі 4.

Однак при проведенні статистичних досліджень важливе значення мають структурні середні величини, які характеризують структуру сукупностей. До структурних середніх величин, у першу чергу, відносять моду та медіану.

Мода та медіана є конкретними характеристиками ряду розподілу, тому їх називають описовими характеристиками або характеристиками центра розподілу. На відміну від інших середніх, які залежать від усіх значень ознаки, мода та медіана залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. Порядок розрахунку моди та медіани залежіть від виду ряду розподілу.

Мода – це варіанта (значення ознаки), яка найчастіше зустрічається у сукупності.

В атрибутивних та дискретних варіаційних рядах розподілу моду легко відшукати візуально без будь-яких розрахунків. У даних рядах розподілу модою є варіанта, яка має найбільшу частоту.

В інтервальних варіаційних рядах спочатку також візуально визначають модальний інтервал. Модальний інтервал – це інтервал, який відповідає найбільшій частоті. Потім моду обчислюють за формулою:

,

де – нижня межа модального інтервалу;

– розмір (ширина) модального інтервалу;

– частота модального інтервалу;

– частота інтервалу, попереднього модальному (передмодального);

– частота інтервалу, наступного за модальним (післямодального).

Інколи трапляються ряди розподілу, в яких не одна, а декілька варіант, які мають найбільші частоти. Це означає, що у даному випадку буде дві чи більше моди.

Медіана – це варіанта, що поділяє впорядкований ряд розподілу на дві рівні за чисельністю частини.

При визначенні медіани використовують кумулятивні (накопичені) частоти, які полегшують пошук варіанти (значення ознаки), що знаходиться у середині упорядкованого ряду. Кумулятивні частоти отримують поступовим підсумовуванням частот. Остання кумулятивна частота завжди дорівнює сумі частот ряду розподілу.

У дискретних варіаційних рядах розподілу медіаною є варіанта, кумулятивна частота якої перевищує половину суми частот (обсягу сукупності). Тому при визначенні медіани спочатку треба визначити порядковий номер медіани, а потім встановлюється значення ознаки (варіанта), що відповідає даному порядковому номеру. Порядковий номер медіани у дискретних рядах визначається за формулою:

,

де – сума частот.

В тому разі, коли сума частот парна, порядковий номер медіани є дробовим числом, але оскільки дробових варіантів не буває, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів. Тому для дискретного ряду з парним числом варіант медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант.

В інтервальних варіаційних рядах розподілу спочатку визначають медіанний інтервал. Медіанний інтервал – це інтервал, накопичена частота якого рівна або більше половини суми частот. Потім медіану визначають за формулою:

,

де –нижня межа медіанного інтервалу;

– розмір (ширина) медіанного інтервалу;

– сума частот;

– сума накопичених частот інтервалу, попереднього медіанному (передмедіанного);

– частота медіанного інтервалу.

Мода та медіана – це особливий вид середніх величин, вони у багатьох випадках мають переваги перед середньою арифметичною або середньою гармонічною і використовуються при вирішенні деяких практичних завдань.

Так мода має велике значення при вивченні попиту населення на товари та послуги, потоку пасажирів на транспорті тощо.

Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень ознаки, тому сума модулів відхилень варіант від медіани мінімальна, тобто має властивість лінійного мінімуму. Цю властивість медіани використовують при проектуванні розміщення зупинок міського транспорту.

Для характеристики структури варіаційного ряду розподілу додатково до медіани обчислюють квартилі, децилі та процентилі.

Квартилі – це варіанти, які поділяють ряд за сумою частот на чотири однакові частини, децилі – на десять рівних частин, процентилі поділяють ряд розподілу на сто рівних частин. Ці характеристики визначаються на основі кумулятивних частот за аналогією з медіаною. Порядок їх розрахунку буде розглянутий у наступному розділі.

5.3. Значення показників варіації та порядок їх визначення

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших – значно відхиляються, варіюють.

Вимірювання ступеня коливання ознаки, тобто її варіації – це невід’ємна складова аналізу закономірностей розподілу. Термін „варіація” походить від латинського слова, що у перекладі означає зміна, коливання, різниця. У статистиці під варіацією розуміють такі кількісні зміни ознаки в межах однорідної сукупності, які зумовлені впливом різних факторів. Розрізняють варіації випадкові і систематичні. Важливе значення має аналіз систематичної варіації, так як він дає змогу оцінити залежність зміни ознаки від суттєвих для неї чинників.

Для вимірювання та оцінки варіації у статистиці існує ціла система показників варіації. До показників варіації належать:

► розмах варіації;

► середнє лінійне відхилення;

► дисперсія;

► середнє квадратичне відхилення;

► коефіцієнт варіації та осциляції.

Таблиця 5.1.

Формули для розрахунків показників варіації

Назва показників варіації	Формули розрахунків показників варіації
для незгрупованих даних	для згрупованих даних
Розрахунок абсолютних та середніх показників варіації
Розмах варіації
Середнє лінійне відхилення
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Розрахунок відносних показників варіації
Коефіцієнт варіації	лінійний
квадратичний
Коефіцієнт осциляції

У системі показників варіації найпростішим є розмах варіації. Даний показник характеризує діапазон варіації, це різниця між максимальним та мінімальним значенням ознаки. Безперечною перевагою розмаху варіації, як міри варіації, є простота його обчислення. Недоліком цього показника є те, що він фіксує лише крайні відхилення і зовсім не враховує відхилень решти варіантів від їхньої середньої. Тому цей показник дуже рідко використовують у практичній роботі.

Інший показник варіації – це середнє лінійне відхилення. Однак середнє лінійне відхилення в статистиці також використовують мало, оскільки воно не завжди характеризує розсів значень ознаки.

Ступень варіації об’єктивніше відображує показник середнього квадрата відхилення – дисперсія. Дисперсія широко використовується не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання зв’язку між явищами, перевірки статистичних гіпотез, при проведенні вибіркових досліджень. Це величина не іменована.

Корінь квадратний з дисперсії називають середнім квадратичним відхиленням. Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим краще та повніше середня величина відображає всю сукупність.

На відміну від дисперсії, розмах варіації, середнє лінійне відхилення та середнє квадратичне відхилення є іменованими показниками, вони виражаються в тих самих одиницях вимірювання, що і значення досліджуваної ознаки.

У статистичній практиці часто виникає необхідність проводити порівняння різних, але взаємозв’язаних сукупностей або варіацію однієї ознаки у різних сукупностях. Для того, щоб забезпечити дані порівняння, потрібно розрахувати відносні показники, до яких належать лінійний та квадратичний коефіцієнт варіації, коефіцієнт осциляції. На підставі даних відносних показників можна проводити якісний аналіз явищ, робити узагальнення та відповідні рекомендації.

У статистиці для порівняння найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Даний показник використовується для оцінки однорідності сукупності.

Розрізняють такі значення відносних коливань:

<10 % – незначне коливання;

10 % ≤ ≤ 30% – середнє коливання;

> 30 % – велике коливання.

На думку вчених, сукупність є однорідною, а середня величина – типовою, коли квадратичний коефіцієнт варіації не перевищує 33 %.

5.4. Види та математичні властивості дисперсії

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ та процесів. Вона є невід'ємним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема вибіркового спостереження, кореляційно-регресійного та дисперсійного аналізу. Тому виникає необхідність більш детального розглядання даного показника та його властивостей.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення на основі величини загальної дисперсії впливу окремих чинників чи умов, які визначають варіацію ознаки. Для оцінки частки варіації, зумовленої тією чи іншою ознакою, сукупність розподіляють на групи за ознакою, вплив якої досліджується.

Це дозволяє розкласти загальну варіацію (дисперсію) ознаки на дві дисперсії, з яких одна частина варіації вивчається впливом чинника, закладеного в основу групування, а інша – варіацією, зумовленою впливом усіх інших чинників, крім того, що вивчається. Тому при розрахунках використовують декілька видів дисперсії:загальну, міжгрупову та групову (внутрішньогрупову).

Загальна дисперсія характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію. Порядок визначення загальної дисперсії вже було розглянуто раніше (у таб.5.1).

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої . Вона показує результат впливу фактора, який покладено в основу групування. Міжгрупова дисперсія визначається за формулою:

= ,

де – загальна середня варіюючої ознаки;

– середня величина -ї групи;

– частоти -ї групи.

Групова (внутрішньогрупова) дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Ця дисперсія характеризує варіацію ознаки всередині кожної групи статистичного групування. Її можна обчислити як середню просту і як зважену. На практиці найчастіше розрахунок проводять за формулою середньої арифметичної простої:

,

де – значення ознаки окремо за групами;

– кількість частот у кожній групі.

Групова дисперсія розраховується окремо для кожної -ї групи. Для всіх груп в цілому розраховується середня з групових дисперсій.

Середня з групових дисперсій (залишкова) – це узагальнююча міра внутрішньогрупової варіації. Ця дисперсія показує результат впливу інших факторів, окрім групувального. Середня з групових дисперсій - це середня арифметична зважена з групових дисперсій:

.

Так як загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки за рахунок впливу всіх факторів (причин), міжгрупова – за рахунок фактора, покладеного в основу групування, внутрішньогрупова – за рахунок інших факторів, не врахованих у групуванні, то між різними видами дисперсії існує певний зв’язок. Загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

+

Це правило додавання дисперсій має велике практичне значення. Так як дозволяє, знаючи два види дисперсій, визначити третій, а також виявити залежність результатів варіації результативної ознаки, яка пов’язана з варіацією групувальної ознаки. Дану залежність встановлюють на основі коефіцієнта детермінації, який визначають відношенням міжгрупової дисперсії до загальної:

.

Коефіцієнт детермінації виражається у коефіцієнтах чи відсотках.

У статистиці поряд із показниками варіації кількісної ознаки використовують показники варіації альтернативної ознаки. Альтернативними ознаками вважаються ознаки, які властиві одним одиницям сукупності та відсутні в інших одиницях сукупності. Наприклад, робітники підприємства підрозділяються на чоловіків та жінок, за місцем проживання населення поділяється на міське та сільське, тобто у даних випадках є два взаємовиняткових варіанти.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток, які мають цю ознаку, на частку одиниць, що її не мають:

,

де – частка одиниць сукупності, яким властива ознака;

– частка решти одиниць ().

За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що (так як ), тоді не складно допустити, що дисперсія альтернативної ознаки не може перевищувати значення 0,25.

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при обробці даних соціологічних опитувань, проектуванні вибіркових досліджень тощо.

Як і будь-яка середня величина, дисперсія має певні математичні властивості:

► якщо всі значення варіант збільшити (зменшити) на певну величину А, то дисперсія не зміниться.

► якщо всі значення варіант збільшити (зменшити) в А разів, то дисперсія збільшиться (зменшиться) в разів, а середнє квадратичне відхилення – в А разів.

► дисперсіяпостійної величини дорівнює нулю.

► якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться.

5.5. Форми рядів розподілу

За своєю формою ряди розподілу поділяються на:

► одновершинні;

► багатовершинні.

Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про різнотиповість окремих складових та необхідність перегрупування даних з метою виявлення більш однорідних груп. У даних рядах спостерігається дві та більше моди.

Розподіли якісно однорідних сукупностей переважно одновершинні (одномодальні). Серед одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні. Асиметричні розподіли на практиці зустрічаються найчастіше, ніж симетричні.

Якщо частоти рівновіддалені від центра значень ознаки, такий ряд розподілу називають симетричним. В симетричному розподіліспостерігається рівність трьох характеристик: (рис. 5.1, а).

Якщо вершина розподілу зміщена, тобто частоти по обидва боки від центра змінюються неоднаково, такий ряд називають асиметричним (скошеним). Розрізняють правосторонню та лівосторонню асиметрії. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини, тобто якщо вершина зміщена ліворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки.

Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка приводить до зміщення центру розподілу. Ступінь асиметрії різний – від помірного до значного.

Дата добавления: 2014-12-29