Лекция 5. Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка

Пусть квадратная матрица -го порядка.

Определение. Определителем матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы , взятых из каждой строки и из каждого столбца по одному, причем знак каждого произведения определяется четностью подстановки, составленной из 1-ых и 2-ых индексов сомножителей, а именно, если подстановка четная, то знак «+», если нечетная, то знак «-», т.е. определителем матрицы называется число

где

- номера строк,

- номера столбцов,

- число инверсий в перестановке ,

число инверсий в перестановке .

Свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя будут членами и во втором, но с обратными знаками, т.е. от перестановки двух строк определитель лишь меняет знак.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые стоки, равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число , сам определитель умножится на .

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 7. Если все элементы -ой строки определителя -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых , , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме -ой, - такие же, как и в заданном определителе, a -aя строка в одном из слагаемых состоит из элементов , а в другом - из элементов .

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов и обратно, т.е. что в определителе строки и столбцы равноправны.

Дата добавления: 2014-12-24