КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод половинного деления. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные по знаку значения
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные по знаку значения. Задача состоит в том, чтобы вычислить корень уравнения (2.1.), принадлежащий отрезку [a,b] с заданной степенью точности e, т.е. найти такое приближенное значение корня Xn, (п - номер итерации), что . (2.5) В методе половинного деления за приближенное значение корня принимается середина отрезка . При этом очевидно, что . Затем определяется знак и для дальнейшего деления пополам выбирается тот из двух отрезков , на концах которого функция f(x) имеет разные по знаку значения. Расчет продолжается до тех пор, пока не выполнится условие (2.5) либо условие . (2.6)
§2.3. Метод хорд (секущих)
Предполагая опять, что f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет разные знаки на его концах, получим формулы для приближенного вычисления корня уравнения (2.1), учитывающие не только знаки f(x), но и ее значения. Для этого соединим точки хордой АВ (рис. 2.1). Точку пересечения х1 этой хорды с осью абсцисс примем за приближенное значение корня.
Рис.2.1.
Из подобия треугольников АВС и , АВС и следуют соотношения , откуда получим соответственно две формулы метода хорд для х1: (2.7) (2.8) Выбрав одну из формул, (2.7) или (2.8), вычислим х1, определим знак и, как в методе половинного деления, для дальнейших вычислений выберем тот из отрезков , на концах которого функция имеет разные по знаку значения. Оценкой абсолютной погрешности приближенного значения х1 здесь может служить величина , Получим еще одну оценку абсолютной погрешности при дополнительном предположении, что на отрезке [a, b] f(x) дифференцируема и где a - точка, расположенная между корнем x и х1. Отсюда
. (2.9) Если уравнение (2.1) имеет на отрезке [a, b] несколько корней, то метод хорд, как и метод половинного деления, вычислит с точностью до один из них. Если же функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную первую и вторую производные, сохраняющие свои знаки, то можно показать [5], что последовательность приближенных значений метода хорд, построенная по формуле , (2.10) где с - один из концов отрезка [a, b], удовлетворяющий условию , а x0 - противоположный конец отрезка, сходится к единственному на этом отрезке корню уравнения (2.1) монотонно.
§2.4. Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть искомый корень уравнения (2.1) принадлежит отрезку [a, b], . Представим f(x) с помощью разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , (2.11) где a - точка, находящаяся между точками x и x1. Пренебрегая в (2.11) остаточным членом, найдем приближенное значение x1 корня x: . (2.12) Подставив в правую часть (2.12) вместо x0 полученное значение x1, получим x2 и т.д. Докажем, что последовательность (2.13) монотонно сходится к единственному на отрезке корню x уравнения (2.1), если: 1) ; 2) непрерывны, отличны от нуля и сохраняют свои знаки на [a, b]; 3) начальное приближение x0 удовлетворяет условию: . Существование и единственность корня следуют из условий I и 2. Докажем сходимость последовательности (2.13) для случая, когда (рис. 2.2) . В остальных случаях доказательство ведется аналогичным образом.
Рис. 2.2.
За начальное приближение удобно взять один из концов отрезка [a, b],. В данном случае , так как . Методом индукции докажем, что последовательность , построенная по формуле (2.13), ограничена снизу точным корнем x.Действительно, . Допустим, что все приближения и докажем, что . Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки : , (2.14) где точка a расположена между x и . Подставим в (2.14) x = x . Поскольку на [a, b], , откуда , т.е. ограниченность снизу последовательности доказана. Отсюда т.е. – последовательность , монотонно убывает и, значит, имеет предел:
. Перейдем к пределу при в равенстве (2.13) , Абсолютную погрешность приближения , полученного методом касательных, можно оценить формулой (2.9). Преобразуем эту оценку с помощью (2.13). Представим f(xn)разложением в ряд Тейлора в окрестности точки : , где a - точка, расположенная между и . Согласно (2.13) или , откуда . Обозначим . Получим следующую оценку абсолютной погрешности величины : . На свойстве монотонности последовательностей метода хорд (2.10) и метода касательных (2.13) основан комбинированный метод, заключающийся в одновременном использовании этих двух методов: Если в формуле (2.13) положить , то формула (2.13) примем вид Эта модификация метода касательных носит название двухшагового метода хорд.
Дата добавления: 2014-12-25; Просмотров: 1356; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |