Токи и напряжения в однородной линии

Понятие цепи с распределенными параметрами

Цепи с распределенными параметрами

При исследовании цепей с сосредоточенными параметрами считают, что электрическое поле сосредоточено только на отдельных участках цепи, например в конденсаторах. Электрическое поле на участке цепи не учитывается, если оно не оказывает существенного влияния на распределение токов и напряжений. Также выделяются отдельные участки цепи, например катушки индуктивности, трансформаторы, в которых сосредоточено магнитное поле. Эти участки на схемах изображаются индуктивностями. Участки электрической цепи, в которых существенное значение имеет необратимое преобразование электромагнитной энергии в тепловую, химическую или механическую, на схемах представляются сопротивлениями.

В электротехнике, однако, часто приходится встречаться и с такими цепями, в которых нельзя выделить участки сосредоточенного электрического поля, магнитного поля или необратимого преобразования энергии. Эти цепи называют цепями с распределенными параметрами (или длинными линиями), так как электрическое поле, магнитное поле и потери энергии распределены (равномерно или неравномерно) вдоль всех участков цепи.

В цепях с распределенными параметрами напряжения и токи различны не только на отдельных участках, но изменяются в пределах каждого участка, то есть зависят от пространственной координаты каждого участка. К цепям с распределенными параметрами относятся длинные линии электропередачи, линии телефонной связи, линии телеуправления и телеизмерения, антенны радиопередатчиков и радиоприемников, обмотки электрических машин и трансформаторов, линии для формирования коротких импульсов, линии-фильтры, линии-элементы настройки контуров, а на сверхвысоких частотах – волноводы и резонаторы.

Будем считать все параметры распределенными вдоль линии равномерно. Такие линии называются однородными. Токи и напряжения в длинных линиях являются функциями двух независимых переменных – времени t и координаты x.

Поскольку линия является распределенной системой, к ней неприменимы обычные законы электрических цепей. Однако если представить линию в виде последовательного соединения элементарных отрезков длиной с параметрами rdx, Ldx, Cdx (рис. 9.1), то каждый из этих четырехполюсников можно описать методами, принятыми в теории цепей. Токи в проводах линии и напряжения между проводами однородной линии передач в любой момент времени определяются так называемыми «телеграфными уравнениями»:

, (9.1)

. (9.2)

Здесь L и r – индуктивность и сопротивление пары проводов однородной линии на единицу её длины, C и g – емкость и проводимость утечки между проводами на единицу длины линии. Совместное решение уравнений (9.1) и (9.2) дает искомые зависимости i=i(x, t) и u=u(x, t).

Если ток и напряжение в однородной линии изменяются во времени по синусоидальному закону с частотой w, уравнения (9.1) и (9.2) можно переписать, вводя комплексные действующие значения напряжения и тока и заменяя операцию дифференцирования по времени множителем jw:

, (9.3)

, (9.4)

где – комплексное продольное сопротивление единицы длины линии; – комплексная поперечная проводимость единицы длины линии.

Продифференцируем уравнения (9.3) и (9.4) по x:

, (9.5)

(9.6)

и, произведя замену, получим:

, (9.7)

. (9.8)

Использовав уравнения (9.5), (9.7) и (9.8), перепишем:

, (9.9)

где

. (9.10)

Постоянную g называют коэффициентом распространения линии;величины a и b – коэффициентами затухания и фазы соответственно.

Уравнение (9.9) – это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

, (9.11)

где и – комплексные постоянные интегрирования.

Подставим (9.11) в выражение (9.4) для тока:

(9.12)

где - волновое или характеристическое сопротивление линии (единица измерения – Ом).

Дата добавления: 2014-12-26